社区指定并给予办理了备案的业主委员会是合法的。以下是具体的分析：

根据相关法律法规，业主委员会的产生需要遵循一定的程序，其中包括由社区或相关组织指定，并报相关部门进行备案。这一过程的合法性主要体现在以下几个方面：

1. 指定程序：社区指定业主委员会成员的过程，通常是在业主大会无法及时召开或业主无法自行组织选举的情况下进行的。这一指定过程应当公开、透明，并遵循相关法律法规的规定。

2. 备案程序：指定后的业主委员会需要向相关部门（如物业管理部门或街道办事处）进行备案。备案是确认业主委员会合法地位的重要步骤，也是业主委员会开展工作的法律依据。

3. 法律效力：经过指定和备案的业主委员会，在法律上具有合法的地位，可以代表业主行使相关权利，参与小区的管理和决策。

因此，社区指定并给予办理了备案的业主委员会是合法的。它们可以依据法律法规和小区的规定，履行其职责，维护业主的合法权益。如果你对业主委员会的具体运作或相关法律问题有疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供更详细的解答。