工期延误索赔应由建设单位提出。以下是详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第五百七十七条，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。在工程建设中，如果承包单位未能按期完成工程，构成合同违约，发包单位作为合同的一方，有权要求承包单位赔偿。
   • 根据《中华人民共和国建筑法》第三十二条，建筑工程监理的职责是代表建设单位对施工质量、建设工期和建设资金使用等方面进行监督。监理单位并不具有索赔权，而是代表建设单位进行监督。

2. 监理单位的角色：

   • 监理单位在工程建设中的主要任务是监督施工，确保工程质量、工期和资金使用的合规性。他们有权要求承包单位改正不符合设计要求或技术标准的施工行为，但无权直接要求承包单位进行赔偿。
   • 如果工程延期，监理单位可能会根据合同规定和实际情况，向建设单位提出工程延期的报告或建议，但最终是否索赔以及索赔的具体金额，由建设单位根据合同约定和实际情况来决定。

3. 建设单位的权利：

   • 作为工程的发包方，建设单位与承包单位签订了工程建设合同，明确了双方的权利和义务。如果承包单位未能按期完成工程，建设单位有权根据合同约定要求承包单位承担违约责任，包括赔偿损失。
   • 建设单位在提出索赔时，应依据合同条款、工程延期的原因、实际损失等因素进行综合考虑，并确保索赔的合法性和合理性。

综上所述，工期延误索赔应由建设单位提出，监理单位在其中主要扮演监督和建议的角色，而不具有直接的索赔权。如果您在工程建设中遇到相关问题，欢迎随时向我咨询。