乘坐私家车受伤案由通常为机动车交通事故责任纠纷。以下是对此案由的详细分析：

一. 案由性质

1. 民事纠纷：在大多数情况下，乘坐私家车受伤是由于车辆在行驶过程中发生交通事故导致的。这类事故引起的纠纷一般被归类为民事纠纷，特别是当涉及到人身损害赔偿时。

二. 法律依据

1. 《中华人民共和国民法典》第八百二十三条：承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任；但是，伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。这意味着，如果乘客在私家车运输过程中受伤，且伤亡并非由旅客自身健康原因造成，也非旅客故意或重大过失导致，那么承运人（即驾驶员或车辆所有者）需要承担相应的赔偿责任。
2. 《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条：侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。这为乘坐私家车受伤的乘客提供了具体的赔偿范围依据。
3. 《中华人民共和国民法典》第一千二百零八条：机动车发生交通事故造成损害的，依照道路交通安全法律和本法的有关规定承担赔偿责任。这为处理机动车交通事故责任纠纷提供了总的法律依据。

三. 责任承担

1. 驾驶员或车辆所有者责任：如果交通事故是由于驾驶员的过失或违法行为（如醉酒驾驶、超速驾驶等）导致的，那么驾驶员或车辆所有者应当承担相应的赔偿责任。
2. 保险公司责任：如果涉事车辆购买了相关保险（如交强险、商业三者险等），那么保险公司也可能成为赔偿主体。根据保险合同的约定，保险公司应当在保险责任范围内对受伤的乘客进行赔偿。

四. 特殊情况

1. 好意同乘：如果乘客是免费搭乘私家车，即“好意同乘”，那么在发生交通事故导致乘客受伤时，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百一十七条，应当减轻驾驶人的赔偿责任，但驾驶人有故意或者重大过失的除外。

总结：乘坐私家车受伤案由通常为机动车交通事故责任纠纷。在处理此类案件时，应依据相关法律法规确定责任主体和赔偿范围。乘客有权要求驾驶员或车辆所有者以及保险公司承担相应的赔偿责任。同时，也需要注意好意同乘等特殊情况下的责任减轻规定。如有进一步需要，您可以继续咨询我。