关于“餐饮店当前台客人跑了谁负责”这个问题，我们可以从以下几个方面来进行分析和回答：
结论前置：
在餐饮店中，如果前台客人未结账就离开（即“跑单”），通常应由餐饮店自行承担损失，但店方也有权采取一些合理措施来预防或减少此类损失。如果是因为员工疏忽或管理不善导致的跑单，店方还可以根据内部管理制度对员工进行相应处理。
详细分析：
餐饮店的责任：
- 餐饮店作为服务提供者，有义务为顾客提供优质的服务，包括确保顾客在用餐过程中的满意度和结账流程的顺畅。
- 如果顾客在未经结账的情况下离开，餐饮店应首先自我反思是否存在服务上的不足或管理上的漏洞，如收银系统不稳定、员工培训不到位等。
- 餐饮店可以通过加强员工培训、优化收银流程、安装监控设备等措施来预防或减少跑单现象的发生。
员工的责任：
- 员工在餐饮店中扮演着重要的角色，他们的行为直接关系到餐饮店的服务质量和顾客满意度。
- 如果跑单是由于员工的疏忽或管理不善导致的（如未及时提醒顾客结账、收银操作失误等），餐饮店可以根据内部管理制度对员工进行相应处理，如警告、罚款甚至解雇等。
- 但需要注意的是，员工的行为通常是在履行工作职责时发生的，因此餐饮店在追究员工责任时也应考虑到这一点，并确保处理方式的合法性和合理性。
顾客的责任：
- 从法律角度来看，顾客在餐饮店用餐后应当履行结账的义务。如果顾客故意逃避结账而离开，这种行为可能构成违约或侵权行为。
- 然而，在实际操作中，由于餐饮店通常无法强制顾客结账，因此店方更多地是通过预防措施来减少跑单现象的发生。
- 如果餐饮店能够证明顾客存在故意逃单的行为，并且该行为给店方造成了经济损失，店方有权通过法律途径追究顾客的民事责任。
总结与建议：
餐饮店在面对前台客人跑了的情况时，应首先自我反思并加强内部管理，通过优化服务流程、加强员工培训等措施来预防或减少跑单现象的发生。同时，店方也有权根据内部管理制度对员工进行相应处理。如果顾客存在故意逃单的行为并给店方造成了经济损失，店方可以通过法律途径来维护自己的合法权益。