原告死亡后，其继承人可以申请执行的法律依据主要来自于《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定。具体分析如下：

一. 原告死亡后继承人的权利

1. 继承权的确认：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产按照法定顺序继承，首先由第一顺序继承人（配偶、子女、父母）继承。这意味着，在原告死亡后，其法定的继承人将继承其遗产，包括诉讼权利。

二. 继承人申请执行的法律依据

1. 执行权利的承继：在民事诉讼中，当原告死亡后，其继承人不仅继承了原告的财产，也继承了与财产相关的诉讼权利。虽然《中华人民共和国民事诉讼法》第二百五十三条直接规定的是被执行人财产的执行，但根据诉讼权利承继的原则，继承人可以承继原告的执行权利。这意味着，如果原告在诉讼中获得了有利于自己的判决，但其在判决执行前死亡，那么其继承人可以依法申请执行该判决。

三. 实际操作的注意事项

• 继承人在申请执行时，需要提供相关的继承证明，如继承权公证书或法院的继承判决，以证明其继承人的身份和继承权利。
• 继承人申请执行时，应遵守诉讼程序和执行程序的相关规定，确保执行申请的合法性和有效性。

我的观点：原告死亡后，其继承人依法可以承继原告的诉讼权利，包括申请执行的权利。这一权利承继是基于《中华人民共和国民法典》关于继承权的规定，以及《中华人民共和国民事诉讼法》关于执行程序的相关规定。因此，继承人可以申请执行原告在诉讼中获得的有利于自己的判决。如有进一步需要，您可以继续咨询我。