针对“超市养猫被人起诉应该怎样应诉”这一问题，以下是一些详细的应诉建议：

一、了解起诉原因和法律依据

首先，超市需要明确被起诉的具体原因。例如，是因为猫咬伤了顾客，还是因为猫的饲养或管理问题导致了其他纠纷。同时，要了解相关的法律依据，如《中华人民共和国民法典》中关于饲养动物损害责任的规定。

二、收集证据材料

1. 监控视频：如果超市内有监控视频，应尽快收集并保存相关时间段的视频资料，以证明事发经过。
2. 证人证言：寻找目击者或了解事情经过的员工，获取他们的证言，并记录下他们的联系方式，以便后续可能需要他们出庭作证。
3. 医疗记录：如果涉及猫咬伤人的情况，应收集受伤者的医疗记录，包括疫苗接种记录、治疗费用等，以了解赔偿金额的合理性。
4. 养猫相关文件：收集超市养猫的相关文件，如领养协议、健康报告、疫苗接种记录等，以证明超市在养猫方面已经尽到了合理的注意义务。

三、确定应诉策略

1. 咨询律师：尽快咨询专业律师，了解案件的法律性质和应诉策略。律师可以帮助超市分析案情，制定合适的应诉方案。
2. 准备答辩材料：根据起诉状和收集到的证据材料，准备答辩材料。答辩材料应针对起诉状中的指控进行逐一反驳，并提供相应的证据支持。
3. 考虑和解：在诉讼过程中，如果双方有和解的意愿，可以考虑通过协商达成和解协议。和解可以避免长时间的诉讼过程，减少诉讼成本，并有助于维护超市的声誉。

四、出庭应诉

1. 准时出庭：确保按照法院的通知准时出庭应诉，避免因为迟到或未出庭而被视为放弃答辩权利。
2. 陈述事实：在法庭上，如实陈述事实，并提供相关证据材料支持自己的主张。
3. 尊重法庭：遵守法庭纪律，尊重法官和对方当事人，避免情绪化的言辞或行为。

五、后续处理

1. 执行判决：如果法院作出判决，超市应按照判决来履行相应的义务，如支付赔偿款等。
2. 总结反思：无论诉讼结果如何，超市都应总结反思养猫过程中存在的问题，加强猫的管理和看护，避免类似纠纷的再次发生。

综上所述，超市在应诉过程中应保持冷静、理性，积极配合法院的调查和审理工作，并尽力维护自己的合法权益。同时，也要加强养猫的管理和看护工作，确保猫的健康和安全，避免类似纠纷的再次发生。