当您遇到商家不提供发票的情况时，可以采取以下步骤来处理：

一、与商家沟通

首先，尝试与商家进行友好沟通，明确表达您需要发票的诉求。有时候，商家可能由于疏忽或系统问题未能及时提供发票，通过沟通可能能够迅速解决问题。您可以询问商家是否能立即开具发票，或者了解他们提供发票的具体流程和时间。

二、了解相关法律法规

如果商家拒绝提供发票，您可以向商家说明，根据《中华人民共和国发票管理办法》等相关法律法规，商家有义务为消费者提供发票。同时，您也可以提及如果商家不遵守规定，可能会面临的法律后果，如税务部门的处罚等。

三、向税务部门投诉

如果与商家的沟通没有结果，您可以向当地税务部门投诉。您可以通过拨打税务部门的投诉电话（如12366），或者通过税务部门的官方网站、微信公众号等渠道进行投诉。在投诉时，请提供详细的消费信息、商家信息以及您之前与商家沟通的情况，以便税务部门能够更快地了解情况并进行处理。

虽然您提到的投诉处理时效可能较长，但税务部门在接到投诉后，会按照法定程序进行调查处理。如果商家确实存在不开发票的行为，税务部门会依法进行处罚，并督促商家改正。

四、寻求其他途径帮助

除了向税务部门投诉外，您还可以考虑通过消费者协会、市场监管部门等渠道寻求帮助。这些机构在保护消费者权益方面也有一定的职责和权力，能够为您提供支持和协助。

五、保留证据，备查备用

在处理过程中，请务必保留好相关的消费凭证、与商家的沟通记录以及投诉记录等证据。这些证据在后续的处理过程中可能会起到关键作用，帮助您维护自己的合法权益。

总之，遇到商家不提供发票的情况时，请保持冷静，通过合法途径维护自己的权益。同时，也请您理解税务部门等相关机构在处理此类问题时可能需要一定的时间。