当公司监事被告时，处理方式会涉及多个层面，包括司法追究、公司内部处理以及可能的民事赔偿等。以下是对这一问题的详细解答：

一、司法追究

1. 侦查、起诉和审判：一旦监事的犯罪行为被发现，司法机关（如公安机关、检察院和法院）将依据相关法律规定进行侦查、起诉和审判。监事将被视为犯罪嫌疑人或被告人，接受法律程序的制裁。

2. 刑罚种类：根据犯罪的性质、情节和法律规定，监事可能面临的刑罚包括但不限于有期徒刑、拘役、罚金等。具体刑罚的种类和程度将由法院根据案件事实、证据等依法裁判。

3. 从轻或从重处罚情节：在案件审理过程中，如果监事有自首、立功等从轻情节，或者存在累犯等从重情节，这些都会对最终判决产生影响。

二、公司内部处理

1. 解除职务：公司作为法人主体，有权依据公司章程和相关规定，对犯罪的监事进行内部处理，包括解除其监事职务。

2. 纪律处分：除了解除职务外，公司还可以对监事进行相应的纪律处分，如警告、记过、开除等，以维护公司的治理结构和内部控制制度。

3. 维护公司运营：在监事犯罪后，公司需要采取措施确保治理结构和内部控制制度不受影响，以维护公司的正常运营和声誉。

三、民事赔偿

1. 赔偿责任：如果监事的犯罪行为给公司或其他股东造成了损失，公司或相关股东有权要求监事承担民事赔偿责任。监事需要赔偿因其犯罪行为所导致的经济损失，包括直接损失和间接损失。

2. 赔偿程序：民事赔偿通常需要通过法律程序进行，如提起民事诉讼或协商达成赔偿协议。

四、声誉影响

监事的犯罪行为不仅会对公司造成损失，还会对其个人声誉造成严重影响。这可能会导致其在行业内失去信任和声誉，影响其未来的职业发展。

五、建议与总结

1. 严格把关：公司在选择监事时应严格把关，确保其具备良好的品德和法律意识，以降低潜在风险。

2. 加强监管：公司应加强对监事的监管和约束，建立健全的内部控制制度和治理结构，确保监事能够忠实履行其职责。

3. 及时应对：一旦监事被告，公司应积极配合司法机关的调查和处理工作，同时加强内部沟通和协调，确保公司的正常运营和声誉不受影响。

综上所述，当公司监事被告时，需要综合考虑司法追究、公司内部处理以及民事赔偿等多个方面。公司应积极配合相关程序，并采取措施维护自身的合法权益和声誉。