劳务派遣单位的员工在用人单位受伤时，责任承担问题相对复杂，但根据相关法律法规，我们可以得出明确的结论。

结论前置：劳务派遣员工在用人单位受伤，劳务派遣公司作为用人单位承担主要责任，需依法申请工伤认定并支付相关待遇；用工单位若存在过错，如提供的工作环境不符合安全标准等，也需承担连带赔偿责任。

详细分析：

1. 劳务派遣公司的责任：

   • 劳务派遣公司是员工的法定用人单位，根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位应当履行用人单位对劳动者的义务，包括为员工缴纳工伤保险。
   • 若员工受伤被认定为工伤，劳务派遣公司需负责申请工伤认定，并根据工伤保险规定支付员工相应的工伤待遇。
   • 如劳务派遣公司未依法缴纳工伤保险，则需按照工伤保险待遇项目和标准自行支付费用。

2. 用工单位的责任：

   • 用工单位在实际使用劳务派遣员工的过程中，有义务提供安全的工作环境，并进行必要的安全培训。
   • 若用工单位存在过错，如提供的劳动环境不符合安全标准、未进行必要的安全培训等，导致员工受伤，用工单位需承担相应的补充赔偿责任。
   • 这种责任是基于用工单位对劳务派遣员工的实际使用和管理职责而产生的。

3. 工伤认定与赔偿流程：

   • 劳务派遣公司应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 工伤认定后，员工可享受工伤保险待遇，包括医疗费用、停工留薪期工资、伤残津贴等。
   • 若劳务派遣公司未按时申请工伤认定，员工或其近亲属、工会组织可在1年内直接提出申请。

4. 纠纷解决途径：

   • 在发生纠纷时，首选协商解决，效率高、成本低。
   • 协商不成时，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提供证据支持诉求。
   • 对仲裁裁决不服的，可向人民法院提起诉讼，由法院根据法律和事实作出判决。

综上所述，劳务派遣员工在用人单位受伤时，应根据具体情况综合判定各方责任，并确保受伤员工的合法权益得到妥善维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。