劳务派遣员工在用工单位发生工伤，原则上由劳务派遣单位承担工伤保险责任，但用工单位若存在过错，也可能需承担连带赔偿责任。以下从不同角度为您详细分析：
一、劳务派遣单位的责任
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条的规定，劳务派遣单位是劳动者的用人单位，应当履行对劳动者的义务，这包括为劳动者缴纳工伤保险等社会保险费用。因此，当劳务派遣员工在用工单位发生工伤时，劳务派遣单位作为用人单位，应当承担相应的工伤保险责任。这包括向工伤职工支付工伤待遇，如医疗费用、伤残津贴、一次性伤残补助金等。
举例说明：假设某劳务派遣公司派遣员工小张到某工厂工作，小张在工厂操作机器时不慎受伤。此时，劳务派遣公司作为小张的用人单位，应当负责为小张申请工伤认定，并支付相应的工伤待遇。
二、用工单位的责任
虽然用工单位与劳务派遣员工之间不存在直接的劳动关系，但根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条的规定，用工单位给被派遣劳动者造成损害的，劳务派遣单位与用工单位承担连带赔偿责任。这意味着，如果劳务派遣员工的工伤是由于用工单位的过错或违法行为导致的，用工单位可能需要承担相应的赔偿责任。此外，用工单位还应当协助劳务派遣单位进行工伤认定和劳动能力鉴定等工作。
举例说明：继续以上述小张为例，如果小张的工伤是由于工厂的安全设施不到位或强令小张冒险作业导致的，那么工厂作为用工单位，可能需要与劳务派遣公司承担连带赔偿责任。
三、特殊情况下的责任划分
未缴纳工伤保险的情况：如果劳务派遣单位未依法为劳动者缴纳工伤保险费，那么一旦发生工伤事故，所有应由工伤保险基金支付的待遇都将由劳务派遣单位自行承担。
跨地区派遣的情况：对于跨地区派遣的劳动者，其工伤保险责任一般按照用工单位所在地的规定执行。但如果派遣单位和用工单位另有约定，则从其约定。
四、工伤处理流程
工伤认定：劳务派遣员工发生工伤后，应及时向劳务派遣单位报告，并由劳务派遣单位在规定时间内（通常为30日内）向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。如劳务派遣单位未按规定提出工伤认定申请的，工伤职工或其近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日起1年内直接向社会保险行政部门提出申请。
劳动能力鉴定：经治疗伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，劳务派遣员工可向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请。
享受工伤保险待遇：经认定为工伤且鉴定了伤残等级的，劳务派遣员工可依法享受相应的工伤保险待遇，包括医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。
五、法律建议
劳务派遣单位：应依法为劳务派遣员工缴纳工伤保险费，确保员工在发生工伤时能够享受相应的工伤保险待遇。同时，应加强与用工单位的沟通与合作，共同做好工伤预防和应急处理工作。
用工单位：应严格遵守安全生产法律法规，为劳务派遣员工提供安全的工作环境。在发生工伤事故时，应积极协助劳务派遣单位进行工伤认定和劳动能力鉴定等工作，并承担相应的赔偿责任（如存在过错）。
劳务派遣员工：在发生工伤后，应及时向劳务派遣单位报告，并保留好相关证据材料。如劳务派遣单位拒绝承担责任或双方对责任划分存在争议，可通过劳动争议仲裁或诉讼等途径来维护自己的合法权益。
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