在民事案件中，申请监督复查（通常指申请再审）是一个严肃的法律程序，它允许当事人对已经发生法律效力的判决、裁定或调解书提出质疑，并请求法院重新审查。以下是可以申请民事案件监督复查（再审）的具体情形：
新的证据出现：
- 如果当事人在原审庭审结束后发现了新的证据，并且这些证据足以推翻原判决、裁定，那么可以申请再审。这些新证据必须是在原审中未出现且能够显著影响案件结果的。
原判决、裁定认定事实有误：
- 如果原判决、裁定所依据的主要证据存在问题，如证据不足、未经质证或系伪造，导致案件事实认定错误，当事人可以申请再审。
适用法律错误：
- 如果原判决、裁定在适用法律上存在明显错误，如适用的法律与案件性质不符、法律条款适用错误或违反法律溯及力规定，当事人同样可以申请再审。
违反诉讼程序：
- 如果原审过程中存在违反法律规定的诉讼程序，如审判组织组成不合法、剥夺当事人辩论权利或未经传票传唤即缺席判决，当事人可以申请再审以纠正程序错误。
其他特定情形：
- 包括但不限于原判决、裁定遗漏诉讼请求、据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或变更、审判人员存在违法行为等情形，当事人均可申请再审。
调解书违反自愿原则或内容违法：
- 对于已经发生法律效力的调解书，如果调解过程中违反了自愿原则，或者调解内容违反了法律规定，当事人也可以申请再审。
在申请再审时，当事人需要注意以下几点：
- 申请时限：申请再审应当在判决、裁定或调解书发生法律效力后的六个月内提出。超过这个时限，法院将不再受理。
- 申请材料：申请再审需要提交书面再审申请书，并附上相关证据材料以支持再审请求。这些材料必须真实、有效，并能够证明原判决、裁定或调解书存在错误。
- 不停止执行：申请再审并不停止原判决、裁定的执行。除非法院另有裁定，否则当事人需要继续履行原判决、裁定所确定的义务。
综上所述，当事人在申请民事案件监督复查（再审）时，应仔细审查原判决、裁定或调解书是否存在上述错误或违法情形，并确保在规定的时间内按照法定程序提出申请，以维护自身的合法权益。