在民事诉讼生效后申请检察监督的过程中，当事人可以申请检察院调取相关证据，但需满足一定条件。

1. 申请条件：

   • 当事人及其代理人因客观原因无法自行收集证据；
   • 或者法院认为审理案件需要该证据，但经法院调查后仍无法取得关键证据；
   • 符合特定情形，如证据由国家机关保存且需检察院调取、涉及秘密隐私等。

2. 申请流程：

   • 当事人需向检察院提出书面申请，说明申请理由和需要调取的证据的具体情况；
   • 检察院会根据当事人的申请，视情况决定是否调取证据。

3. 法律依据：

   • 根据相关法律规定，民事诉讼中当事人及其诉讼代理人因客观原因不能自行收集的证据，或者法院认为审理案件需要的证据，可以申请法院调取。若法院调查后仍无法获取，当事人可申请检察院调查核实。

4. 实例说明：

   • 假设小朱与小李因合同纠纷诉至法院，小朱认为合同履行过程中的关键证据由某国家机关保存，自己无法自行收集。在法院经调查未能获取该证据的情况下，小朱可以向检察院申请调查核实此证据。只要小朱的申请理由符合法定情形，检察院会根据具体情况决定是否调取该证据。

综上所述，民事诉讼生效后申请检察监督时，当事人可以申请检察院调取相关证据，但需满足一定的条件和流程。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。