您好，关于汇票丢失后申请公示催告时如何证明背书连续性的问题，我可以为您提供以下详细的解答：
首先，根据《票据法》及中国人民银行发布的关于支付结算的相关规定，以背书转让的票据，背书应当连续。持票人以背书的连续，证明其汇票权利。因此，在申请公示催告时，证明背书的连续性是非常重要的。
一、证明背书连续性的方式
提供汇票复印件及背书记录：
- 如果您还保留有汇票的复印件，那么可以直接提供复印件来展示背书的连续性。
- 复印件上应清晰显示从出票人开始，经过各背书人，直至您（最后持有人）的完整背书链条。
前手背书人的证明：
- 如果汇票复印件无法提供或背书记录不完整，您需要联系您的前手背书人（即您的直接前手以及可能的前几手），请求他们出具证明，确认他们曾将汇票背书转让给您。
- 这些证明应包含汇票的基本信息（如票面金额、出票人、持票人等），以及明确的背书转让事实和日期。
其他合法取得票据的证明：
- 如果汇票在流通过程中出现了非背书转让的情况（如继承、赠与等），您需要提供相应的法律文件或证明，以证实您是以合法方式取得该汇票的。
二、申请公示催告时需提交的材料
除了上述证明背书连续性的材料外，申请公示催告还需提交以下材料：
公示催告申请书：
- 申请书应写明票面金额、发票人、持票人、背书人等票据主要内容和申请的理由、事实。
- 申请人署名一栏必须由申请人本人签名或加盖公章。
申请人的主体资格证明：
- 如为公民，需提供身份证复印件或户口簿等证明身份的材料。
- 如为法人或其他组织，需提供营业执照复印件、工商注册登记查询证明、组织机构代码证（均需加盖公章）以及法定代表人或负责人的身份证明。
委托代理手续（如适用）：
- 如需委托代理人进行诉讼，应提供符合规定的委托手续。
票据支付地的证明：
- 提交票据存根复印件以及银行未兑付证明原件，以证明票据支付地的正确性。
三、注意事项
- 在申请公示催告期间，法院会对所涉票据的背书或流转过程进行形式审查。
- 如果公示催告期间无人申报权利，您可以在公告期满次日起一个月内申请人民法院作出除权判决，宣告票据无效。
- 如果利害关系人在公示催告期间内向法院申报权利，公示催告程序将被裁定终结，您可能需要另行提起民事诉讼来维护自己的权益。
综上所述，证明背书的连续性是申请公示催告的重要环节。您需要根据实际情况提供相应的证明材料，并确保申请材料的完整性和准确性。希望这些信息能对您有所帮助。