死亡鉴定推断说明书应由医疗卫生机构或公安机关开具，具体取决于死亡发生的地点和原因。以下是详细分析：

一. 开具主体的确定

1. 医疗卫生单位死亡：

   • 如个人在医院、诊所等医疗卫生单位因病救治无效死亡，或在家中因疾病自然死亡后由社区卫生服务中心或乡镇卫生院进行核实，这些医疗卫生单位会出具《居民死亡医学证明（推断）书》，即死亡鉴定推断说明书。

2. 非正常死亡：

   • 对于交通事故、意外事故、自杀等非正常死亡情况，或死因不明的情况，需由公安机关介入。公安机关将按照法定程序进行调查、检验、鉴定，并出具《居民死亡证明书》，这也属于死亡鉴定推断的范畴。

3. 其他场所死亡：

   • 在养老服务机构、救助管理机构等场所内正常死亡的，一般由场所所在地的医疗卫生机构出具相关证明。若涉及案件等特殊情况，公安机关会介入处理并按规定出具相应证明。

二. 特殊情况处理

• 如在暂住地死亡，暂住地户口登记机关会通知死者常住地户口登记机关，但死亡证明的出具仍遵循上述原则。
• 死亡证遗失的，可持有效身份证件向签发单位申请补发，但这不影响初次开具机构的确定。

综上所述，死亡鉴定推断说明书的开具机构主要取决于死亡发生的地点和原因，可能是医疗卫生机构或公安机关。在处理这类事务时，建议家属或相关人员及时与当地相关部门联系，了解具体开具流程和所需材料，并按照法定程序妥善处理。如有进一步需要，您可以继续咨询我。