在业主家中发生火灾，因灭火导致电梯损坏的情况下，赔偿责任主要应由引发火灾的业主承担。以下是对此问题的详细分析：

一、业主的责任

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条的规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在此案例中，业主因自身原因引发火灾，进而因消防用水导致电梯进水损坏，该业主存在明显的过错行为，且该行为与电梯损坏的结果之间存在直接的因果关系。因此，该业主应当承担电梯损坏的赔偿责任，包括电梯维修所产生的合理费用，如损坏配件的购置费、维修人员的工时费等。

二、物业的角色与责任

物业管理公司负责管理小区的公共设施，包括电梯。在火灾发生时，物业有义务协助进行消防救援，使用消防设备扑灭火源是其职责所在。如果物业在此过程中没有过错，如没有及时关闭电梯电源或未对电梯井口进行有效防护等，导致电梯因消防用水受损，那么物业不需要承担赔偿责任。

然而，如果物业管理公司在火灾防范或应对过程中存在过错，如未能及时采取合理防范措施减少电梯受损的可能性，那么物业管理公司也需要根据其过错程度承担相应的责任。此时，赔偿责任将在引发火灾的业主和物业管理公司之间进行合理划分。

三、总结与建议

综上所述，当业主家中发生火灾，且因灭火导致电梯损坏时，赔偿责任原则上应由引发火灾的业主承担。若物业管理公司存在过错，也需承担相应责任。在处理此类纠纷时，应综合考虑各方行为、过错程度及因果关系，以确保公平合理地分配赔偿责任。

如果您作为业主或物业管理公司遇到此类问题，建议首先通过协商的方式解决纠纷。如果协商无果，可以寻求法律援助或向法院提起诉讼，以维护自身的合法权益。同时，也提醒广大业主和物业管理公司，在日常生活中应加强火灾防范意识，确保公共设施的安全使用。