关于您提出的“承担保证责任后，法院不支持追偿的判决”这一问题，我首先给出结论：保证人在法院判决书中明确享有追偿权后，应通过申请执行的方式来实现权利，而非另行起诉。若选择另行起诉，人民法院不予支持是合理的。以下是对这一结论的详细分析：

1. 追偿权的法律基础：

   • 保证人的追偿权是基于法律规定或保证合同的明确约定而产生的。当保证人按照约定履行了保证责任后，即有权向主债务人进行追偿。

2. 追偿权的实现途径：

   • 法院在判决书中明确保证人享有追偿权，这意味着保证人无需通过另行起诉来主张这一权利。判决书具有法律效力，可直接作为执行依据。
   • 保证人应优先选择申请执行的方式来实现追偿权，这是既符合法律规定又高效的方式。

3. 另行起诉的风险与问题：

   • 若保证人选择另行起诉，可能会面临法院不予支持的风险。因为法院的判决书已经对追偿权进行了确认，再次起诉可能被视为重复诉讼，违反诉讼程序。
   • 法院不予支持还可能因为起诉内容与判决书中的特定条件、限制不符，或新发现的事实情况影响追偿权的实际基础。

4. 法律程序的正确运用：

   • 如果保证人认为法院不予支持的裁定有误，可以根据具体情况通过上诉、申请再审等法律程序来维护自己的合法权益。

5. 司法效率与资源节约：

   • 避免不必要的诉讼有助于节约司法资源。保证人应充分利用已有的法律判决，通过申请执行等合法途径实现追偿权。

综上所述，保证人在承担保证责任后，应正确理解并运用法律程序，通过申请执行的方式高效、合法地实现追偿权。如果您在实际操作中遇到任何问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。