当您发现未成年孩子在没有经过您同意的情况下进行了付款，您可以按照以下步骤尝试申请退款：

一、确认是否符合退款条件

1. 年龄界定：

   • 如果孩子不满8周岁，他/她为无民事行为能力人，其实施的付款行为无效，您有权主张全额退款。
   • 如果孩子8周岁以上但未满18周岁，且付款金额明显与其年龄、智力状况不相适应，您也可以主张退款。

2. 收集证据：

   • 准备好孩子的身份证、户口簿等能证明其未成年身份的材料。
   • 收集付款记录，包括付款时间、金额、渠道信息以及商品或服务详情，这些可以通过支付平台的交易明细或相关应用内获取。

二、与商家或服务提供者协商退款

1. 直接联系客服：

   • 通过商家或应用的官方网站、APP内的客服联系方式，明确告知是“未成年人付款退款”的情况，并等待回复。
   • 根据客服的指引填写退款申请，可能需要提供监护人的身份信息验证（如人脸识别）。

2. 访问官方退款平台（如果商家提供）：

   • 有些商家设有专门的未成年人退款平台或通道，您可以访问并提交退款申请。
   • 提交申请时，请确保包含所有必要的付款信息，以便商家快速审核。

三、寻求第三方帮助

1. 向相关监管部门投诉：

   • 如果商家拒绝退款或协商无果，您可以向当地的消费者权益保护部门或相关监管部门（如市场监督管理局、新闻出版署等）投诉。

2. 联系消费者协会：

   • 您还可以拨打12315投诉热线或通过当地消费者协会的官方网站、微信公众号等渠道进行投诉和咨询。
   • 消费者协会将提供咨询、调解等帮助，以协助您解决退款问题。

四、考虑法律途径

1. 发送律师函：

   • 如果涉及金额较大或无法通过其他途径解决，您可以考虑委托律师向商家发送律师函，正式要求退款并告知可能的法律后果。

2. 提起诉讼：

   • 如果律师函无效，且您有足够的证据证明未成年人付款的事实及金额与其年龄、智力状况不相适应，您可以向法院提起诉讼。

五、注意事项

1. 保持冷静和理性：在整个退款过程中，请保持冷静和理性，避免与商家产生不必要的争执。
2. 耐心等待审核：退款审核和流程可能需要一定的时间，请耐心等待商家的回复和处理。
3. 多渠道沟通：除了直接联系商家客服和在线平台申请外，您还可以通过拨打消费者热线、向监管部门投诉等方式进行沟通和咨询。

希望以上步骤能帮助您顺利申请到未成年孩子的付款退款。如果您在退款过程中遇到任何困难或问题，请随时寻求专业法律或消费者权益保护机构的帮助。