公司不肯开请假条时，员工应首先尝试与公司沟通协商，明确表达请假的需求与理由，并保留相关证据。若协商无果，员工可依据相关法律法规向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。以下是具体的处理步骤和法律依据：

一. 与公司沟通协商

1. 明确请假权利：根据《中华人民共和国劳动法》第三条，劳动者享有休息休假的权利。员工应首先查阅公司章程或员工手册，了解自己的请假权利和公司的请假流程。

2. 提出请假申请：员工应按照规定程序向公司提出请假申请，并明确表达请假的原因和需求。在申请时，员工可以附上相关证明材料，如病假条、病历等。

3. 保留沟通记录：在沟通过程中，员工应保留好与公司的沟通记录，包括请假申请、公司回复等，以备不时之需。

二. 向劳动仲裁机构申请仲裁

1. 准备相关证据：若公司拒绝提供请假条或不合理地拒绝员工的请假申请，员工应准备相关证据材料，如请假申请记录、与公司的沟通记录、公司拒绝请假的书面通知等。

2. 提起仲裁申请：员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。在申请时，员工需要提交书面申请，并附上相关证据和材料。申请书中应明确表述仲裁请求和事实理由。

3. 参加仲裁庭审：在仲裁庭审过程中，员工需要积极主张自己的权益，并提供相关证据来证明自己的主张。若公司无正当理由拒不到庭或者未经仲裁庭同意中途退庭的，仲裁庭可以缺席裁决。

三. 法律依据

1. 《中华人民共和国劳动法》第三条：劳动者享有休息休假的权利。

2. 《中华人民共和国劳动合同法》第四条：用人单位应依法建立和完善劳动规章制度，保障劳动者享有劳动权利、履行劳动义务。

3. 《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条：因休息休假发生的争议属于劳动仲裁受理范围。

四. 其他建议

1. 寻求工会帮助：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十三条，工会有权要求用人单位纠正违反法律、行政法规规定或劳动合同约定的行为。员工可以向公司工会寻求帮助。

2. 咨询专业律师：在处理此类问题时，员工如有需要可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保障。

我建议员工在面对公司不肯开请假条的情况时，保持冷静和理性，按照上述步骤逐步处理。同时，员工也应了解自己的请假权利和公司的请假流程，避免因无故请假或频繁请假而影响工作。