关于“老师教唆学生打学生，公安机关如何处罚”的问题，以下是我的详细解答：
结论前置：老师教唆学生打学生，不仅违反了职业道德，更触犯了法律。公安机关将依据相关法律法规，根据事件的严重程度和具体情况，对老师进行相应的处罚，可能包括行政处罚，甚至刑事责任。
一、行政处罚
轻微情节：
- 若老师教唆学生打学生，但未造成严重后果，公安机关可能依据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，对老师进行批评教育，并处以警告、罚款或拘留等行政处罚。
较重情节：
- 若老师教唆学生打学生，且造成了较为严重的后果，如学生受伤等，公安机关将依法对老师进行更严厉的行政处罚，如拘留并处罚款。
二、刑事责任
- 若老师教唆学生打学生，且行为构成了犯罪，如故意伤害罪等，公安机关将依法立案侦查，并追究老师的刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，老师可能面临有期徒刑、拘役或管制等刑罚。
三、学校责任与处理
- 同时，学校作为教育机构，对老师的教唆行为也负有不可推卸的责任。学校应对涉事老师进行严肃的纪律处分，包括但不限于警告、记过、降级、撤职、开除等，并加强对老师的教育和管理，防止类似事件再次发生。
四、法律建议
对于受害者：
- 若你是受害者或受害者家长，建议及时向公安机关报案，并保留相关证据，如医疗记录、现场照片等，以便后续维权。
- 同时，可以向学校反映情况，要求学校对涉事老师进行严肃处理。
对于旁观者：
- 若你目睹了老师教唆学生打学生的行为，建议及时向公安机关或学校举报，以维护校园安全和正义。
综上所述，老师教唆学生打学生是一种严重的违法行为，将受到法律的制裁和学校的纪律处分。我们应该共同维护校园的安全和秩序，保障学生的合法权益。若你有任何法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。