银行客户在支取遗产时确实负有告知义务。以下是对此问题的详细分析：

一. 银行客户的告知义务

1. 基于继承法的规定：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产的继承需要遵循一定的法律程序。银行作为遗产可能存在的机构，当客户（即继承人）前来支取遗产时，银行有权利也有义务确认客户的继承身份，以确保遗产的合法分配。这一过程中，客户自然需要向银行提供相关的继承证明文件，如继承权公证书、法院判决书等，这就是客户的告知义务。
2. 防止遗产纠纷：银行要求客户在支取遗产时提供相关信息，也是为了防止后续可能出现的遗产纠纷。如果银行未进行必要的审核，导致遗产被非法支取，那么银行可能会因此卷入法律纠纷中。因此，客户的告知义务也是银行保护自身利益的一种方式。

二. 告知义务的具体内容

• 客户需要向银行提供证明其继承身份的相关文件，如上文提到的继承权公证书、法院判决书等。
• 客户还需要告知银行遗产的具体情况，包括遗产的金额、种类等，以便银行进行核实和处理。

三. 实际案例

• 例如，在实际操作中，如果客户前往银行支取已故亲人的存款，银行通常会要求客户提供死亡证明、继承权证明等文件。这就是银行在履行其审核义务的同时，也要求客户履行告知义务的具体体现。

综上所述，银行客户在支取遗产时确实负有告知义务，这既是基于继承法的规定，也是为了防止遗产纠纷和保护银行自身利益的需要。因此，在支取遗产时，客户应积极配合银行的要求，提供必要的证明文件和信息。如有进一步需要，您可以继续咨询我。