奶茶店没有写贺卡的法定义务。针对这一问题，我们可以从以下几个方面进行分析：

一. 法定义务的来源

• 法定义务通常来源于法律法规的明确规定。在现有的法律体系中，并未有任何法律条文规定奶茶店必须提供写贺卡的服务或承担写贺卡的义务。

二. 合同义务的可能性

• 虽然法定义务不存在，但奶茶店与顾客之间可能通过合同（如服务协议、购买凭证上的条款等）约定相关服务内容。如果合同中明确规定了奶茶店需为顾客写贺卡，那么奶茶店则基于合同约定负有写贺卡的义务。
• 例如，如果奶茶店在某次促销活动中承诺，凡购买特定饮品的顾客均可获得一张由奶茶店书写的贺卡，那么这一承诺就构成了合同的一部分，奶茶店需依约履行。

三. 商业惯例与服务质量

• 在商业实践中，奶茶店是否提供写贺卡的服务更多取决于其商业策略和服务质量考量。一些奶茶店可能为了提升顾客体验或增加服务特色，主动提供写贺卡的服务。
• 但这种服务并非法律强制要求，而是奶茶店自愿提供的附加服务，顾客不能因此强制要求奶茶店必须提供。

综上所述，奶茶店没有法定的写贺卡义务。是否提供写贺卡的服务，取决于奶茶店与顾客之间的合同约定以及奶茶店自身的商业策略和服务质量考量。如果顾客有此类需求，建议与奶茶店进行协商，看是否能达成共识。如有进一步需要，您可以继续咨询我。