首先，持有C1驾驶证人员骑电动自行车肇事逃逸，是否构成犯罪，需要具体分析。

1. 驾驶证与驾驶车辆类型的关系：

   • C1驾驶证是机动车驾驶证，主要适用于小型、微型载客汽车以及轻型、微型载货汽车等。
   • 电动自行车通常被视为非机动车，不需要机动车驾驶证即可驾驶。

2. 肇事逃逸的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》，造成交通事故后逃逸的，由公安机关交通管理部门吊销机动车驾驶证，且终生不得重新取得机动车驾驶证（针对机动车驾驶员）。
   • 肇事逃逸者还需承担相应的民事赔偿责任。
   • 若情节严重构成犯罪的，将依法追究刑事责任。

3. 针对电动自行车的特殊考虑：

   • 由于电动自行车属于非机动车，因此持有C1驾驶证的人员骑电动自行车肇事逃逸，不会面临吊销机动车驾驶证的处罚。
   • 但是，如果肇事逃逸行为造成了严重后果，如致人重伤、死亡或重大财产损失，仍然可能构成犯罪，需要承担刑事责任。

4. 建议与行动：

   • 如果发生此类事故，受害者应及时报警，协助警方调查取证，以维护自身合法权益。
   • 交通管理部门会全力追捕逃逸者，以维护交通秩序和社会安全。
   • 对于肇事者来说，应尽快主动投案自首，配合警方调查，并尽力赔偿受害者的损失，以减轻法律责任。

综上所述，持有C1驾驶证人员骑电动自行车肇事逃逸，是否构成犯罪取决于肇事逃逸行为的严重程度和后果。如果行为严重并造成了严重后果，就可能构成犯罪并需要承担刑事责任。因此，建议所有驾驶者在发生事故后，都应立即停车、保护现场、救助伤者，并主动配合警方的调查和处理。