关于你提出的“寄宿制学校小卖部无证卖小食品会不会开处公职”的问题，首先我们要明确一点：是否开除公职，这通常取决于具体的单位规定以及相关法律法规，而不是单一地由某一行为直接决定。下面我详细为你分析这个问题：

1. 无证经营的法律后果：

   • 根据相关法律法规，无证经营食品是违法的，可能会面临行政处罚，如罚款、没收违法所得等。
   • 如果情节严重，还可能构成犯罪，需要承担刑事责任。

2. 对公职人员的影响：

   • 公职人员如果涉及无证经营，首先会面临上述的法律后果。
   • 是否会被开除公职，则需要看所在单位的具体规定。一般来说，如果公职人员的违法行为严重损害了单位形象或者公共利益，单位有权依据相关规定对其作出开除等纪律处分。
   • 此外，如果公职人员的违法行为构成了犯罪，并且被依法追究刑事责任，那么根据《公务员法》等相关规定，其公职通常会被开除。

3. 特殊情况考虑：

   • 如果无证经营的小卖部并非公职人员本人直接经营，而是其家属或者其他人经营，且公职人员并未参与其中，那么公职人员通常不会因此被开除公职。
   • 但是，如果公职人员利用职权为无证经营提供便利或者庇护，那么也可能面临相应的纪律处分。

综上所述，寄宿制学校小卖部无证卖小食品本身不会直接导致公职被开除，但公职人员如果涉及其中，可能会面临法律后果和纪律处分。因此，建议公职人员严格遵守相关法律法规和单位规定，不要参与任何违法违规的活动。如果你有更具体的情况或者疑问，可以直接向我咨询。