当您遭遇被饲养动物致害，并希望申请精神损害赔偿时，可以按照以下步骤进行：

一、确认侵权事实与损害结果

首先，您需要明确确认动物侵权行为的发生，以及这一行为对您造成了严重的精神伤害。这种精神伤害可能表现为持续的恐惧、焦虑、抑郁等心理状态，且这些状态需有专业医疗或心理机构出具的证明或诊断。

二、收集证据

为了支持您的赔偿请求，收集充分的证据是至关重要的。证据可以包括但不限于：

• 动物侵权行为的现场照片或视频记录。
• 目击者的证言或书面陈述。
• 医疗或心理机构出具的精神伤害诊断证明。
• 如有必要，还可以请专业律师协助您进行证据收集和整理。

三、了解法律法规

根据《民法典》的相关规定，侵害自然人人身权益造成严重精神损害的，被侵权人有权请求精神损害赔偿。同时，《民法典》也明确指出，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任，除非能证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的。

四、与责任人协商

在收集了充分的证据后，您可以尝试与动物饲养人或管理人进行协商，提出您的精神损害赔偿请求。在协商过程中，保持冷静和理性，明确表达您的诉求和依据，同时听取对方的意见和回应。

五、提起诉讼

如果协商无果，或者您认为对方提出的赔偿方案不合理，您可以考虑向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提交详细的起诉状和证据材料，并遵循法院的诉讼程序。

六、等待判决与执行

一旦法院受理了您的诉讼，就会进行审理并作出判决。如果判决支持您的赔偿请求，您就可以等待对方履行赔偿义务。如果对方拒不履行，您可以申请法院强制执行。

综上所述，申请精神损害赔偿需要您明确侵权事实与损害结果、收集充分证据、了解相关法律法规、与责任人协商以及必要时提起诉讼。在整个过程中，保持冷静和理性是非常重要的，同时寻求专业律师的帮助也能为您的权益提供更好的保障。