当公司解除劳动合同时，劳动者应首先与公司的人力资源部门或负责劳动关系的部门沟通，了解具体情况，并在必要时采取法律手段维护自己的合法权益。关于赔偿问题，需根据解除劳动合同的具体原因和方式来确定。
结论前置：公司解除劳动合同的赔偿责任由公司承担，但具体赔偿金额和方式需根据解除原因、合同约定及法律法规综合判断。
一、公司应承担赔偿责任的情形
违法解除劳动合同：
- 若公司未经法定程序或无正当理由直接解除劳动合同，如员工未出现严重违反公司规章制度等可单方面解除劳动合同的法定情形，公司需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。赔偿金计算通常基于员工在公司工作的年限，每满一年支付两个月工资的标准。
合法解除但需支付经济补偿的情形：
- 协商一致解除：双方协商一致解除劳动合同时，公司需支付经济补偿，具体数额可协商确定或依法计算。
- 无过失性辞退：若劳动者因患病、非因工负伤无法工作，或不能胜任工作且经过培训调整仍不能胜任，或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且未就变更内容达成协议，公司在提前通知或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，并需支付经济补偿。
二、公司可能无需承担赔偿责任的情形
- 若劳动者存在严重违反公司规章制度、严重失职营私舞弊给公司造成重大损害、与其他公司建立劳动关系影响本职工作、以欺诈胁迫手段订立或变更劳动合同无效、被依法追究刑事责任等情形，公司可以单方面解除劳动合同，且无需支付经济补偿或赔偿金。
三、赔偿问题的处理建议
初步沟通与协商：
- 与公司的人力资源部门或负责劳动关系的部门沟通，了解解除劳动合同的具体原因和依据，以及可能涉及的补偿问题。
- 保持冷静理性，清晰表达自己的诉求，并妥善保存沟通记录。
法律救济途径：
- 若认为公司解除劳动合同的行为违法或不合理，可向劳动争议调解机构申请调解，或向劳动监察部门投诉举报。
- 若双方无法通过协商或调解解决争议，可向劳动仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，还可向人民法院提起诉讼。
专业法律咨询：
- 在整个过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可随时向我咨询。我将提供专业的法律建议和指导，确保您的权益得到充分保护。
综上所述，公司解除劳动合同的赔偿问题需根据具体情况综合判断。在处理此类问题时，应仔细审查劳动合同、解除原因及方式，并严格遵循相关法律法规的规定。如有任何疑问或需要法律帮助，请随时与我联系。