在交通事故中，如果双方承担同等责任，而对方要求您垫付医疗费用，您可以按照以下步骤向保险公司提出垫付申请，并确保流程顺畅进行：
一、明确垫付责任与方式
交强险垫付：
- 在双方同等责任的交通事故中，首先应由交强险保险公司在其责任限额范围内垫付医疗费用。
- 如果垫付费用超出了交强险的范围，双方可以协商由一方先行垫付，后续按责任比例分担。
设立预支账户：
- 另一种方式是向事故处理部门申请设立一个专门的医疗费用预支账户，并由相关部门监督资金的使用和偿还情况。
社会救助基金：
- 如果双方均无力垫付，可以考虑寻求社会救助基金的帮助。
二、向保险公司提出垫付申请
联系保险公司：
- 首先，及时联系您的车辆保险公司，告知事故情况、责任认定以及对方要求垫付医疗费用的情况。
准备必要材料：
- 根据保险公司的要求，准备相关材料，如事故认定书、对方医疗费用清单、医院诊断证明、您的身份证和保险单等。
填写垫付申请书：
- 向保险公司提交垫付申请书，明确垫付的金额、原因以及后续的责任分担方式。
- 申请书应详细阐述事故经过、责任认定情况，以及您同意按责任比例分担后续费用的意愿。
等待保险公司审核：
- 保险公司会对您的申请进行审核，确认是否同意垫付以及垫付的金额。
三、后续处理
跟踪垫付进度：
- 与保险公司保持密切联系，跟踪垫付申请的进度，确保资金能够及时到位。
按责任比例分担费用：
- 一旦垫付成功，应确保后续按责任比例分担费用。这可以通过与对方协商或依据法律程序进行。
保险理赔：
- 在事故责任认定完成后，及时向保险公司提交理赔申请，包括医疗费用、车辆损失等。
- 保险公司会根据保险合同的约定进行赔付。
四、注意事项
- 保留证据：在整个过程中，务必保留好所有与事故和垫付相关的证据材料，以便后续理赔或法律纠纷时使用。
- 及时沟通：与保险公司、对方当事人以及事故处理部门保持及时沟通，确保信息畅通无阻。
- 遵守法律法规：在处理交通事故和垫付医疗费用时，应严格遵守相关法律法规和程序规定。
综上所述，向对方垫付医疗费用前，应先与保险公司沟通并明确垫付方式和责任分担。通过准备必要的材料、填写垫付申请书并跟踪进度，可以确保垫付过程顺利进行，并为后续的保险理赔和费用分担打下坚实基础。