机关事业单位及其编制内工作人员开始缴纳养老保险的时间为2014年10月1日。这一改革是由国务院印发的关于机关事业单位工作人员养老保险制度改革的决定中明确的。在此之前，不同地区可能有各自的规定和实践，例如广东省从1994年8月1日起就开始实行机关、事业单位工作人员个人缴纳养老保险费的制度。但全国范围内统一的机关事业单位养老保险制度改革是从2014年10月1日起实施的。

这一改革意味着，从2014年10月1日起，机关事业单位及其编制内的工作人员需要参加养老保险，并按照规定的缴费比例和标准进行缴费。同时，他们也享受到了养老保险制度所带来的保障和福利，即在达到国家规定的退休年龄、缴费年限等条件后，可以按月领取基本养老金。

总的来说，机关事业单位养老金的缴纳时间是根据国家统一规定来确定的，不同地区可能有所差异，但全国范围内统一的改革时间是从2014年10月1日起开始的。