当您在医院捡到他人的身份证时，可以按照以下步骤处理：

首先，您应当意识到身份证是公民的重要身份凭证，涉及到个人隐私和安全，因此需要及时妥善处理。根据《户口居民身份证管理工作规范》的相关规定，建议您就近将捡到的身份证上交给公安派出所。

公安派出所收到您上交的身份证后，会进行一系列的处理流程：

1. 录入信息库：公安机关会将捡拾到的身份证信息统一录入全国捡拾居民身份证信息库。这样做的主要目的是为丢失身份证的群众提供查询服务，帮助他们尽快找回自己的身份证件。

2. 核实与销毁：公安机关会核实该身份证是否已办理补领新证手续。如果已补领新证，那么捡拾到的旧证将按规定进行销毁，并做好相关登记工作。

3. 招领与通知：对于未办理丢失补领手续的身份证，公安机关会向丢失招领系统输入相关信息。如果有联系条件，如身份证上留有联系方式或者通过其他途径能够联系到失主，公安机关会通知失主前来领取丢失的证件。

4. 发还证件：在发还居民身份证时，公安机关会严格核验领证人的身份信息，确保领证人即为失主本人。同时，为了留存记录，公安机关还会拍照留存相关图像信息。

综上所述，当您在医院捡到他人的身份证时，最妥善的处理方式是就近上交给公安派出所。这样不仅能够确保身份证得到妥善处理，还能帮助失主尽快找回自己的身份证件。