当您的银行卡被司法冻结后，通常情况下，您是有可能去办理其他银行的业务的，包括尝试申请新的银行卡。但这一过程并非毫无限制，而是受到多种因素的影响，需要您综合考虑具体情况。

首先，从普遍适用的原则来看，银行在为客户办理新银行卡时，主要会基于身份信息的核实以及是否符合相关开户条件进行判断。只要您能够满足这些基本条件，理论上即使有一张卡被司法冻结，您依然能够申请办理新的银行卡。

然而，也需要注意一些特殊情形下的限制。例如，如果司法冻结是因为涉及严重的经济犯罪、违法违规等重大案件，司法机关可能会通知银行对相关人员采取更严格的措施，这包括限制新开账户。此外，银行出于自身风险防控的考虑，若发现您因已有银行卡被司法冻结而存在较高风险因素，也可能会更加谨慎地审核您的开户申请，甚至有可能拒绝为您办理新卡。

另外，对于被纳入失信被执行人名单的个人，虽然法律上并未明确禁止其办理新银行卡，但在实际操作中，许多金融机构为避免潜在风险，在办理新卡时会进行更为严格的审查。这可能导致开户过程受阻，或需要您提供更多额外的证明材料。

同时，您还需要了解，即使成功办理了新的银行卡，如果原冻结的银行卡涉及的法律问题没有解决，新卡也有可能再次被冻结。因为司法冻结是根据申请人的申请来实施的财产保全措施，目的是防止被告转移资产或逃避债务。

综上所述，虽然司法冻结一张银行卡后通常可以尝试办理其他银行卡，但具体能否成功办理还需考虑多种因素。因此，在实际操作中，建议您先咨询相关银行以获取最准确的信息，并积极配合任何法律纠纷或执行程序。如遇复杂情况，请务必咨询专业律师以保护自己的合法权益。