在我国，负责刑事案件调查的部门主要是公安机关，但检察院在特定情况下也承担侦查职责。具体来说：

一、公安机关

公安机关是刑事案件最主要的侦查机关，负责大多数普通刑事案件的侦查工作，涵盖的案件范围广泛。

二、人民检察院

人民检察院在特定情况下也承担刑事案件的侦查职责，具体负责以下几类案件的侦查：

1. 司法工作人员相关职务犯罪案件：如非法拘禁罪（仅限司法工作人员利用职权实施）、刑讯逼供罪、暴力取证罪、虐待被监管人罪等。
2. 国家工作人员贪污贿赂和渎职犯罪案件：这类案件涉及国家工作人员的职务行为和廉洁性。
3. 特定情形下公安机关管辖案件的补充侦查：当公安机关侦查的案件存在事实不清、证据不足或遗漏罪行、同案犯等情况时，检察院可依法进行补充侦查。

因此，针对“检察院哪个部门负责刑事案件调查”的问题，答案是检察院中的特定部门（如第一检察部、第二检察部等，具体根据检察院的内设机构设置而定）在法定职责范围内负责上述特定类型刑事案件的侦查工作。而大多数普通刑事案件的侦查则主要由公安机关负责。