检察院刑事检察部门的主要职责包括：

1. 对刑事案件行使侦查权：在特定情况下，如发现司法工作人员利用职权实施犯罪，或公安机关管辖的国家机关工作人员利用职权实施的重大犯罪案件需要由人民检察院直接受理时，人民检察院可以立案侦查。

2. 审查逮捕：对刑事案件进行审查，批准或决定是否逮捕犯罪嫌疑人。

3. 审查起诉与提起公诉：对刑事案件进行审查，决定是否提起公诉，并对决定提起公诉的案件支持公诉。

4. 法律监督：

   • 对监狱、看守所的执法活动实行法律监督。
   • 对刑事诉讼活动进行全面监督，包括立案监督、侦查监督、审判监督等，确保诉讼活动的合法性和公正性。

5. 其他刑事检察职权：法律规定的其他相关刑事检察职权，如办理刑事申诉案件等。

具体来说，检察院内部的不同刑事检察部门还有更为细致的分工，例如：

• 第一检察部：可能负责除特定类型案件外的其他刑事案件的审查逮捕、审查起诉等工作。
• 第二检察部：可能专门负责危害国家安全、公共安全犯罪，以及故意杀人、抢劫、毒品等特定类型犯罪案件的审查逮捕、审查起诉等工作。
• 第三检察部：可能负责职务犯罪案件的审查逮捕、审查起诉等工作，这类案件通常由监察委员会移送。
• 第四检察部：可能负责破坏社会主义市场经济秩序犯罪案件的审查逮捕、审查起诉等工作。
• 第九检察部：可能专门负责未成年人犯罪和侵害未成年人犯罪案件的审查逮捕、审查起诉等工作，并开展未成年人司法保护和预防未成年人犯罪工作。

综上所述，检察院刑事检察部门的职责是全方位、多层次的，既包括对刑事案件的直接办理，也包括对刑事诉讼活动的全面监督，以确保刑事法律的正确实施和刑事诉讼活动的合法、公正。