针对您提出的问题，关于申领就失业金后当月医疗保险是否会中断的情况，我为您整理了以下详细解答：

首先，根据深圳市人力资源和社会保障局的回复，当您成功申领失业待遇后，从申领成功的当月起，失业保险将为您代缴医疗保险。这意味着，只要您的失业待遇申领成功，并且是在当月的有效时间内（如您的例子中是4月10日申领成功），那么从该月起，您的医疗保险就不会中断，而是由失业保险为您缴纳。

然而，由于失业保险金的发放通常是在次月进行（如您的例子中是5月15日左右发放4月的失业金），这可能会导致一些用户担心当月（即申领月）的医疗保险会中断。实际上，这种担心是不必要的。因为从您申领失业待遇成功的当月起，失业保险就已经开始为您代缴医疗保险了，与失业金的发放时间无关。

此外，对于您提到的“每个月需要办理失业金资格核对手续”的问题，确实是从下个月开始进行的。也就是说，从您开始领取失业金的次月起（如您的例子中是5月），您需要按月完成失业金资格核对手续，以确保您的失业待遇能够持续发放。

综上所述，您申领就失业金后当月的医疗保险不会中断，而是由失业保险为您代缴。同时，请您记得从下个月开始按月完成失业金资格核对手续，以确保您的失业待遇能够持续享受。希望这个解答能够消除您的疑虑，并为您提供清晰、详细、有深度的信息。