信用卡欠款4千逾期不还，确实存在被银行起诉的可能性，但具体是否会被起诉取决于多个因素。

1. 银行起诉的权利：

   • 从法律角度来看，持卡人未按时还款即构成违约，银行作为债权人有权通过法律途径追讨欠款。即便欠款金额仅为4千，银行在理论上也可以向法院提起诉讼。

2. 影响银行起诉决策的因素：

   • 逾期时间：若逾期时间较短，银行通常会先通过电话、短信等方式进行催收，并给予一定的宽限期。若逾期时间较长，如超过3个月甚至更久，且多次催收无果，银行起诉的可能性会显著增加。
   • 还款态度：若持卡人在逾期后积极与银行沟通，表达还款意愿，并尝试制定可行的还款计划，银行可能会考虑暂不起诉。相反，若持卡人躲避催收、拒绝还款或表现出不配合的态度，银行则可能更倾向于通过法律手段来维护自身权益。
   • 成本效益：银行会权衡起诉成本与追讨欠款的收益。对于欠款4千这样相对较小的金额，银行可能会考虑起诉的成本是否过高，并可能选择其他更经济的催收方式。

3. 建议与警示：

   • 鉴于上述分析，虽然欠款4千被起诉的概率相对较低，但逾期不还会对个人信用记录造成严重影响，并可能产生逾期利息和滞纳金，增加还款负担。
   • 建议持卡人尽快与银行联系，协商还款事宜，以避免不必要的法律风险和信用损失。
   • 提醒广大信用卡用户，应合理使用信用卡，按时还款，维护良好的个人信用记录。

综上所述，信用卡欠款4千逾期不还确实存在被起诉的风险，但具体是否会被起诉取决于多种因素。为避免不必要的麻烦和损失，建议持卡人积极与银行沟通，寻求解决方案，并时刻保持良好的信用习惯。如果你有任何关于信用卡欠款或相关法律问题的疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。