法院书记员是可以晋升的。根据《人民法院书记员管理办法(试行)》的相关规定，书记员作为审判工作的事务性辅助人员，在法官指导下工作，并实行单独序列管理。这一管理办法明确了书记员的职责、条件以及选拔任用、考核培训、工资职级等管理制度，为书记员的晋升提供了制度保障。

具体来说，该办法第十五条规定：“人民法院书记员可以按规定正常晋升职级。”并且详细列出了各级人民法院书记员的最高职级配备，如最高人民法院书记员的职级最高配备为正处级，高级人民法院书记员的职级最高配备为副处级，以此类推。这表明，书记员根据自己的工作表现、能力以及所在法院的级别，有机会逐级晋升。

此外，从实际案例来看，如中共毕节市七星关区人民法院党组关于王晓莉等18名聘任制书记员等级晋升的通知中，就明确提到了这些书记员根据相关规定晋升为五级聘用制书记员。这进一步证明了法院书记员是可以晋升的，并且晋升是依据一定的规定和程序进行的。

综上所述，法院书记员在符合相关规定和条件的情况下，是可以实现职级晋升的。