独生子女父母奖励金，也常被称作独生子女父母补助金，其发放部门会根据具体的地区和政策有所不同。但通常情况下，这一奖励金的发放涉及到多个部门，包括卫生健康局、财政局、人力资源和社会保障局以及养老保险经办中心等。
以淳化县为例，根据《淳化县城镇独生子女父母补助金发放办法》，补助金的发放程序及渠道如下：
对于淳化县机关、事业单位人员以及企业职工基本养老保险参保人员，他们需要先向单位提供相关证明材料，如居民身份证、户口簿、结婚证或离婚证（如适用）、独生子女父母光荣证以及补助金申请表等。单位会审核这些材料并进行公示，无异议后报主管部门确认，再由主管部门报卫健局审批备案。最后，相关单位会依据卫健部门审批备案后的材料，将补助金随养老金或工资一同发放。
对于户籍在淳化县的其他城镇居民，他们需要向户籍所在地居委会（社区）提交相关证明材料，居委会（社区）会进行初审并公示，无异议后报镇（街道）复审确认，再报卫健局审批备案。卫健部门会在次年第一季度通过财政“一卡通”系统将年度资金发放到个人银行卡。
此外，对于跨省（区、市）婚姻的情况，独生子女父母奖励费的发放可能会更加复杂。一般原则上，奖励费由父母各自所在的单位或者户籍所在地的街道办事处、乡（镇）人民政府发放。如果两省（区、市）政策有冲突，可能会根据夫妇双方所在单位的负担能力或者按照其他协商确定的原则来处理。
总的来说，独生子女父母奖励金的发放部门会根据具体的地区、政策以及个人情况而有所不同。因此，如果您需要了解具体的发放部门和相关流程，建议您咨询当地的卫生健康局、财政局或者人力资源和社会保障局等相关部门。