当孩子在公立幼儿园出现安全事故时，处理流程通常遵循以下几个步骤，以确保孩子的健康与安全，并妥善处理后续事宜：

一、立即响应与急救

1. 确保孩子安全：首先确保孩子脱离危险环境，避免进一步伤害。
2. 初步急救：根据孩子的伤势进行初步的急救措施，如止血、清洗伤口等。对于严重的伤势，如骨折、大量出血或意识不清，应立即拨打120急救电话，并告知医护人员孩子的具体情况。

二、通知家长与园方

1. 及时通知家长：幼儿园应尽快通知孩子的家长，告知孩子的情况、已采取的急救措施以及后续的建议。
2. 园方记录与报告：幼儿园应详细记录事故发生的时间、地点、经过以及孩子的伤势情况，并向上级主管部门报告。

三、医疗救治与费用处理

1. 就医治疗：根据孩子的伤势，家长或园方应陪同孩子前往医院进行治疗。在治疗过程中，应保留好所有医疗单据和费用清单。
2. 费用垫付与保险理赔：幼儿园通常会先行垫付孩子的医疗费用。若幼儿园投保了校方责任险，园方应协助家长向保险公司申请理赔，以减轻经济负担。

四、事故调查与责任认定

1. 事故调查：幼儿园应成立事故调查小组，对事故进行全面调查，包括事故原因、责任认定等。
2. 责任认定：根据调查结果，明确事故责任方。若幼儿园存在管理疏忽或教育不当，应承担相应的责任。

五、后续关怀与赔偿协商

1. 关怀孩子：事故发生后，幼儿园应关注孩子的心理状况，提供必要的心理支持和辅导。
2. 赔偿协商：对于因事故造成的孩子损失，如医疗费用、护理费用等，家长与园方应进行协商，达成赔偿协议。若协商不成，可通过法律途径解决。

六、总结与预防

1. 总结教训：幼儿园应总结事故教训，加强安全管理，避免类似事故再次发生。
2. 预防措施：根据事故原因，幼儿园应采取相应的预防措施，如加强安全教育、完善安全设施等。

总之，当孩子在公立幼儿园出现安全事故时，园方应迅速响应、及时救治、妥善处理后续事宜，并加强安全管理，确保孩子的健康与安全。同时，家长也应保持冷静，与园方积极沟通，共同维护孩子的权益。