结论前置：根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规，用人单位开除员工（即解除劳动合同）的规定严格且细致，旨在保障劳动者的合法权益。以下将从合法开除无需支付经济补偿、合法开除需支付经济补偿、不得开除的情形以及违法开除的后果四个方面进行详细阐述。
用人单位可以合法开除员工且无需支付经济补偿的情形：
- 试用期不符合录用条件：若员工在试用期间被证明不符合招聘时明确规定并公示的录用条件，且用人单位能提供如考核记录等确凿证据，则可解除劳动合同。例如，某员工在试用期内无法完成既定的销售任务，且经考核不达标，用人单位有权开除。
- 严重违反规章制度：若员工严重违反用人单位依法制定并公示的规章制度，如多次旷工或严重违反安全操作规范，用人单位有权开除。例如，某员工连续旷工超过用人单位规定的严重违纪标准，用人单位可依据此条款开除。
- 严重失职或营私舞弊：若员工因严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害，且用人单位能证明失职行为与损害之间的因果关系，可解除劳动合同。例如，某公司财务人员因疏忽或故意行为导致公司遭受重大经济损失，用人单位有权开除。
- 同时与其他单位建立劳动关系：若员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对本职工作造成严重影响或在用人单位提出后仍不改正，用人单位可解除劳动合同。例如，某员工同时在两家竞争企业任职，严重影响本职工作完成，且拒不改正，用人单位可依据此条款开除。
- 劳动合同无效：若员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危使用人单位违背真实意思订立或变更劳动合同，导致合同无效，用人单位可解除劳动合同。例如，某员工在入职时提供虚假学历证明，用人单位发现后可依据此条款开除。
- 被依法追究刑事责任：若员工被人民法院判处刑罚或被人民检察院免予起诉，用人单位可解除劳动合同。例如，某员工因犯罪被判处刑罚，用人单位有权开除。
用人单位可以开除员工但需支付经济补偿的情形：
- 患病或非因工负伤：若员工患病或非因工负伤，在规定医疗期满后不能从事原工作或用人单位另行安排的工作，用人单位提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同，并需按工作年限支付经济补偿。例如，某员工因病无法继续从事原工作，且无法适应用人单位另行安排的工作，用人单位在提前通知并支付经济补偿后，可解除劳动合同。
- 不能胜任工作：若员工不能胜任工作，且经培训或调整工作岗位后仍不能胜任，用人单位同样需提前三十日书面通知或额外支付一个月工资，并支付经济补偿后，方可解除劳动合同。例如，某员工经过多次培训仍无法胜任工作，用人单位在提前通知并支付经济补偿后，可解除劳动合同。
- 客观情况发生重大变化：因不可抗力或其他情况导致劳动合同无法履行，且用人单位与员工未能就变更合同内容达成协议，用人单位也需提前通知或支付代通知金，并支付经济补偿后解除劳动合同。例如，某企业因市场变化导致业务大幅缩减，无法继续履行与员工的劳动合同，且双方未能就变更合同内容达成协议，用人单位在提前通知并支付经济补偿后，可解除劳动合同。
用人单位不得开除员工的情形：
- 职业病危害作业未检查：从事接触职业病危害作业的员工未进行离岗前职业健康检查，或疑似职业病病人在诊断、医学观察期间，用人单位不得解除劳动合同。例如，某员工从事接触有毒有害物质的工作，未进行离岗前职业健康检查，用人单位不得在此期间开除。
- 患职业病或因工负伤：若员工在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力，用人单位不得开除。例如，某员工因工作原因导致职业病，被确认丧失劳动能力，用人单位不得开除。
- 其他法定不得开除情形：包括员工患病或非因工负伤在医疗期内、女职工在孕期、产期、哺乳期、在本单位连续工作满十五年且距法定退休年龄不足五年，以及法律、行政法规规定的其他不得开除的情形。例如，某女职工在孕期，用人单位不得开除。
违法开除的后果：
- 若用人单位违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，员工有权要求继续履行合同。若员工不要求继续履行或合同已无法继续履行，用人单位需按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。例如，某用人单位违法开除员工，员工要求继续履行合同但合同已无法继续履行，用人单位需支付赔偿金。
总结与建议：用人单位在解除劳动合同时应严格遵守相关法律法规，确保合法合规地管理员工关系。对于合法开除的情形，用人单位应确保有充分的证据支持；对于需支付经济补偿的情形，用人单位应按时足额支付；同时，用人单位应特别注意不得解除劳动合同的情形，以保护特殊劳动者的权益。若用人单位在解除劳动合同过程中遇到法律问题，可直接向我咨询，我将提供专业的法律意见。