结论：在法律上，子女与父母之间的关系不能通过单方面行为或协议来“断绝”，即使父亲存在遗弃子女的行为，也不能直接通过某种方式断绝父子或父女关系。不过，针对父亲遗弃子女的行为，子女或其法定代理人可以依法追究其法律责任，并在特定情况下申请变更监护权或寻求其他法律救济。
法律背景与解释：
血缘关系的不可断绝性：
- 根据我国法律，父母与子女之间的血缘关系是自然形成的，无法通过法律手段或个人行为来断绝。这种关系基于出生事实，具有法律上的强制性和不可改变性。
遗弃行为的法律责任：
- 如果父亲遗弃子女，即拒绝履行抚养、教育、保护等法定义务，子女或其法定代理人可以向公安机关报案，要求追究父亲的刑事责任（如遗弃罪）或民事责任（如支付抚养费）。
- 在民事方面，遗弃行为可能导致父亲被剥夺监护权，但这并不意味着父子或父女关系的断绝，而是监护职责的转移。
监护权的变更：
- 在父亲遗弃子女的情况下，如果子女的其他亲属（如母亲、祖父母、外祖父母等）愿意且有能力承担监护职责，可以向法院申请变更监护权。
- 法院在审理此类案件时，会综合考虑子女的利益、监护人的能力和意愿等因素，作出是否变更监护权的判决。
其他法律救济：
- 除了追究法律责任和变更监护权外，子女或其法定代理人还可以寻求其他法律救济，如要求父亲支付拖欠的抚养费、赔偿因遗弃行为造成的损失等。
法律建议：
- 如果您或您的家人遭遇了父亲遗弃子女的情况，建议首先收集相关证据（如报警记录、证人证言、医疗记录等），以证明父亲的遗弃行为。
- 接着，您可以向当地公安机关报案，要求追究父亲的刑事责任或民事责任。同时，也可以考虑向法院申请变更监护权，以确保子女的合法权益得到保障。
- 在整个过程中，建议您咨询专业律师的意见，以便更好地了解法律程序和自身权益，律师可以根据您的具体情况提供个性化的法律建议和帮助。
可能的法律后果：
- 如果父亲被认定构成遗弃罪，可能会面临刑事处罚，如有期徒刑、拘役或罚金等。
- 在民事方面，父亲可能需要支付拖欠的抚养费、赔偿因遗弃行为造成的损失等。同时，如果监护权被变更，父亲将失去对子女的直接抚养和监护权。
总之，虽然法律上无法直接“断绝”父子或父女关系，但针对父亲遗弃子女的行为，子女或其法定代理人可以依法追究其法律责任，并在特定情况下申请变更监护权或寻求其他法律救济。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。