被判一个月是会有案底的。案底是指一个人因为犯罪被法院判处刑罚后，在司法系统中留下的犯罪记录。接下来，我从几个方面对此进行详细说明：

1. 案底的形成：

   • 当检察院提起公诉后，如果法院经过审理认为被告人构成犯罪，并作出有罪判决（无论是有期徒刑、拘役、管制等主刑，还是罚金、剥夺政治权利等附加刑），且该判决生效后，就会在司法系统中留下案底。
   • 在你提到的情境中，被判一个月显然属于被判处刑罚的情况，因此会留下案底。

2. 案底的影响：

   • 案底会对个人的某些方面产生影响，如在就业、入伍、报考公务员等方面可能会受到限制或审查。
   • 具体的影响程度会因犯罪类型、刑罚轻重以及个人情况等因素而有所不同。

3. 关于检察院起诉与案底的关系：

   • 检察院起诉只是刑事诉讼程序的一个环节，它本身并不直接决定是否有案底。
   • 是否有案底取决于法院的最终判决结果。如果法院作出无罪判决，或者检察院在起诉前决定不起诉，那么就不会留下案底。

综上所述，被判一个月是会有案底的，且该案底会对个人的未来产生一定影响。如果你对此有更多疑问或需要进一步的法律咨询，可以直接向我提问。