当您购买的鞋子存在质量问题而商家拒绝退货时，您可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 与商家友好协商

   • 保留证据：首先，您需要收集并保留好所有能证明鞋子质量问题的证据，比如清晰的照片、视频，以及购物凭证（如发票、收据、订单截图等）。这些证据在后续的协商、投诉或法律程序中都将起到关键作用。
   • 明确诉求：以平和、理性的态度向商家说明鞋子的具体问题，比如开胶、断底、材质问题等，并明确提出退货的要求。同时，您可以提及《中华人民共和国消费者权益保护法》中关于商品质量保障和消费者公平交易权的相关规定，以增强您的说服力。

2. 向平台或消费者协会投诉

   • 电商平台投诉：如果您是在线上购买的鞋子，可以利用电商平台的投诉机制。在投诉时，详细说明情况并上传您收集的证据，请求平台介入处理。电商平台通常有专门的客服团队来处理此类纠纷，他们会根据平台规则和法律法规进行调解。
   • 消费者协会投诉：您还可以拨打12315消费者投诉举报专线或通过全国12315平台进行投诉。在投诉时，提供详细的信息及证据，消费者协会会协助您与商家进行调解，并可能提供法律咨询和援助。

3. 行政投诉与监管

   • 向市场监督管理部门投诉：如果鞋子的质量问题比较严重，或者商家拒不配合调解，您可以向当地的市场监督管理局进行投诉。市场监督管理部门有权对商家的违法行为进行调查，并可能采取行政措施，如罚款、责令整改等，以保护消费者的合法权益。

4. 考虑法律途径

   • 发送律师函：如果上述方法都未能解决问题，您可以考虑委托律师发送律师函给商家。律师函是一种正式的法律警告，它会指出商家的违法行为及可能的法律后果，促使商家主动解决问题。
   • 申请仲裁或提起诉讼：如果双方有仲裁协议，您可以按协议向指定的仲裁机构提请仲裁。仲裁结果具有法律约束力，且通常比诉讼程序更为快捷。如果没有仲裁协议或仲裁不成，您可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，您需要提交充分的证据来证明鞋子的质量问题以及商家的违法行为，由法院依法进行判决。

在处理此类纠纷时，您还需要注意以下几点：

• 全程保存证据：无论是与商家的沟通记录、投诉过程还是法律程序中的每一步，都要确保有相关证据的完整保存。这些证据将是您维权的重要依据。
• 了解法律法规：熟悉《中华人民共和国消费者权益保护法》等相关法律法规，明确自己的权利和商家的义务。这将有助于您在维权过程中更加自信和有力。

最后，我想强调的是，面对商家拒绝退货的情况，您应保持冷静和理性，不要采取过激的行为或言辞。通过综合运用协商、投诉、行政手段和法律途径等多种方式，您可以有效地维护自己的合法权益。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，随时都可以向我咨询，我会尽我所能为您提供帮助。