三方派遣员工被用人公司辞退时，赔偿责任的确定需依据具体辞退原因，可能涉及用工单位和劳务派遣单位，下面分情况为你详细说明：

1. 用工单位存在过错的情况

   • 若派遣工因用工单位的原因（如业务调整、订单减少等经济性原因或无正当理由随意辞退）被辞退，用工单位需承担主要责任。此时，派遣工有权向用工单位主张经济补偿或赔偿金。劳务派遣单位若未尽到监督和保障责任，也需承担连带赔偿责任。
   • 经济补偿计算方式：根据《劳动合同法》等相关法律规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。例如，派遣工在用工单位工作了2年3个月，那么经济补偿就是2.5个月的工资。

2. 派遣工自身存在法定过错情形

   • 若派遣工存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反规章制度、失职舞弊等情形，用工单位可以依法将其退回劳务派遣单位，且无需支付经济补偿或赔偿金。劳务派遣单位也可据此与派遣工解除劳动合同。这种情况下，派遣工无法获得赔偿。

3. 用工单位因客观情况发生重大变化等合法辞退的情况

   • 若用工单位因企业搬迁、技术革新等客观情况发生重大变化导致劳动合同无法履行，且经协商未能就变更劳动合同内容达成协议，用工单位可以将派遣工退回劳务派遣单位。此时，劳务派遣单位应根据具体情况对派遣工进行重新派遣或解除劳动合同并支付相应的经济补偿。经济补偿的计算方式同上。

4. 派遣单位原因辞退

   • 若派遣工因派遣单位自身经营问题或违反法律法规规定解除劳动合同等原因被辞退，派遣单位需承担赔偿责任。派遣工应向派遣单位索取经济补偿或赔偿金。若派遣单位违法解除劳动合同，则需按照经济补偿标准的二倍向派遣工支付赔偿金。例如，派遣工在派遣单位工作了3年，经济补偿是3个月工资，那么违法解除的赔偿金就是6个月工资。

赔偿索取流程：

1. 明确赔偿主体：根据辞退原因确定是向用工单位还是派遣单位索取赔偿，或两者均需承担责任。
2. 协商解决：首先尝试与赔偿主体进行友好协商，提出合理的赔偿要求。
3. 申请劳动仲裁：若协商无果，派遣工可向劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，请求裁决赔偿主体承担相应责任。
4. 提起诉讼：对仲裁结果不服的，派遣工可在规定期限内向法院提起诉讼，通过司法途径维护自身合法权益。

建议：在面对此类情况时，派遣工应保留好与用工单位和劳务派遣单位的相关证据，如劳动合同、工作证明、辞退通知等，以便在索赔过程中证明自己的权益。如果对具体赔偿金额或流程有疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供更详细的法律指导。