结论前置：离婚后，若一方未按照约定或判决支付子女的抚养费，抚养孩子的一方确实有权向法院起诉要求支付或增加抚养费。
详细分析
一、协议离婚后的抚养费问题
未约定抚养费
- 若离婚时双方未就子女抚养费问题作出约定，之后因生活所需或孩子实际花销增加等原因，抚养孩子的一方可以向法院起诉要求另一方支付抚养费。法院会综合考虑孩子的实际需要、双方的经济状况以及当地的实际生活水平等因素来确定抚养费的数额。
已约定抚养费但对方未履行
- 若双方在离婚协议中明确约定了抚养费的数额、支付方式和期限等，而支付抚养费的一方未按约定履行义务，抚养孩子的一方可以依据协议向法院起诉，要求对方支付拖欠的抚养费。此时，需要准备充分的证据，如离婚协议、支付记录、银行转账凭证的缺失等，以证明对方未履行支付义务。
原定抚养费数额不足以维持孩子生活
- 随着孩子的成长，生活、教育、医疗等费用可能会增加，导致原定抚养费数额无法满足孩子实际需求。在此情况下，抚养孩子的一方可以向法院起诉要求适当增加抚养费数额。法院会综合考虑孩子的实际需要、双方的经济状况、当地的生活水平以及孩子因病、上学等特殊原因导致的额外支出等因素来作出判决。
二、诉讼离婚后的抚养费问题
- 在诉讼离婚后，若直接抚养孩子一方的经济状况发生重大变化（如失业、重大疾病等），无力独自承担孩子的抚养费用，而另一方有负担能力，那么可以起诉要求对方增加抚养费。
- 同样，若不直接抚养孩子一方的经济状况显著改善（如获得巨额遗产、事业成功等），而孩子的实际需求也相应增加，直接抚养孩子的一方也可以起诉要求对方适当增加抚养费。
三、特殊情况：从未支付过抚养费
- 如果离婚时约定了抚养费的支付，但一方从未支付过，直接抚养孩子的一方可以以孩子的名义向法院起诉，要求对方支付拖欠的抚养费。法院会根据具体情况进行判决，并可能要求支付拖欠的抚养费以及相应的利息。
起诉流程与注意事项
准备材料：
- 起草起诉状，详细说明诉求、事实和理由。
- 准备相关证据，如离婚协议书、判决书、孩子的出生证明、开销明细、未支付费用的记录、聊天截图或证人证言等，以证明对方应支付抚养费及孩子实际需求的情况。
立案：
- 向有管辖权的法院提交起诉状和证据材料。法院审核通过后会受理立案，并通知当事人缴纳诉讼费用。
审理：
- 法院会安排开庭时间，双方当事人需按时到庭参加庭审。在庭审中，双方将进行举证、质证和辩论，以阐明各自的观点和理由。
判决：
- 法院根据审理查明的事实和相关法律规定，作出是否支付抚养费、支付的具体金额、支付方式和期限等的判决。
执行：
- 如果被告不主动履行判决义务，原告可以在规定时间内申请强制执行。法院将通过查封、扣押、冻结等措施，确保抚养费的获得。
后续调整：
- 若后续因孩子升学、生病等原因导致实际生活、教育、医疗开支大幅增加，原定抚养费难以维持正常需求，抚养孩子的一方可以再次起诉要求增加抚养费数额。
法律依据
根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条规定，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。同时，该条款还明确，关于子女抚养费的协议或判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或判决原定数额的合理要求。
综上所述，离婚后若遇到抚养费支付问题，抚养孩子的一方应依法维护自己的权益，通过法律途径追讨或要求增加抚养费，以确保孩子的健康成长和生活需求得到满足。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。