当继承人选择放弃遗产时，对于被继承人遗留的债务，其处理方式主要遵循法律原则和实践操作，以下我将为您详细阐述：
一、基本原则
放弃继承与债务免除：
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承人如果选择放弃继承，那么他们通常不需要对被继承人的债务承担责任。这是因为继承权的放弃意味着继承人不再接受被继承人的财产，基于权利与义务相一致的原则，他们也不应承担被继承人的债务。
限定继承原则：
即使继承人选择继承，他们也仅在其继承的遗产范围内承担债务责任。超过遗产实际价值部分，除非继承人自愿偿还，否则债权人无权向继承人追偿。这一原则旨在保护继承人的合法权益，避免其因继承而承担不必要的债务负担。
二、具体处理方式
明确放弃继承的声明：
- 继承人应当在法定期限内（如知道受遗赠后六十日内）作出接受或放弃受遗赠的表示。
- 放弃继承的声明应当以书面形式作出，并可以提交给相关机构（如法院、公证处等）进行备案或公证，以确保其法律效力。
通知债权人和其他相关方：
- 继承人放弃继承后，应及时通知债权人和其他可能受影响的利益相关方。这有助于债权人及时了解情况，并采取相应的法律措施来维护自己的权益。
债务处理流程：
- 债权人通知与申报：被继承人生前留有债务的，债权人应及时向遗产管理人申报债权。若继承人已放弃继承，债权人需直接联系遗产管理人或通过法律途径主张权利。
- 遗产清算程序：在存在有效遗嘱执行人或遗产管理人的情况下，由其对遗产进行清算。清算过程中需优先清偿被继承人的债务及应缴税款，剩余财产再按法定顺序分配。
- 债务清偿顺序：根据法律规定，遗产债务清偿遵循特定顺序，包括共益费用、职工工资、社会保险费用、税款及普通债务等。若遗产不足以清偿全部债务，债权人按比例受偿。
特殊情况下的责任界定：
- 若继承人虽书面放弃继承，但实际占有或使用遗产且未履行管理义务导致损失，可能需对债权人承担赔偿责任。
- 继承人故意隐匿、侵吞遗产或伪造债务等行为将丧失继承权，并可能面临法律责任。
三、实际操作建议
- 咨询专业律师：在处理此类复杂问题时，建议继承人咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
- 保留相关证据：继承人应保留好放弃继承的书面声明、通知债权人的证据等相关文件，以备不时之需。
- 配合遗产管理：如果继承人被要求协助处理与被继承人债务相关的法律手续，应积极配合并提供必要的文件和信息。
综上所述，当继承人放弃遗产时，他们通常不需要对被继承人的债务承担责任。但继承人应明确放弃继承的意愿，并及时通知债权人和其他相关方，以避免不必要的法律纠纷和误解。同时，在处理遗产债务时，应遵循法律规定的清偿顺序和原则。