肇事逃逸被决定拘留15天，通常会在公安机关的拘留所执行拘留。以下是详细分析：

一、拘留决定与执行机关

1. 拘留决定机关：根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，造成交通事故后逃逸且尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门作出拘留决定。这意味着，是交警部门在调查清楚事故情况后，根据逃逸行为的严重程度，决定是否对逃逸者进行拘留以及拘留的时长。

2. 执行机关：拘留决定作出后，由公安机关负责执行。具体来说，行政拘留通常在公安机关的拘留所执行。拘留所是依据中国现行的法律、法规、条例和相关规定而设置的羁押场所，主要负责收拘被公安机关依法给予行政拘留处罚的人。

二、拘留地点与情形

1. 行政拘留：

   • 适用情形：当肇事逃逸情节较轻，尚不构成犯罪时，可能会被处以行政拘留。例如，逃逸行为未造成严重后果，或者逃逸者事后主动投案、积极配合调查等。
   • 执行场所：行政拘留一般在拘留所执行。拘留所会按照相关规定，对被拘留人进行管理、教育和改造。

2. 刑事拘留（虽本题不直接涉及，但为全面理解提供信息）：

   • 适用情形：如果肇事逃逸行为构成犯罪，如造成一人以上重伤，负事故全部或者主要责任且逃逸的，将依据《刑法》以交通肇事罪追究刑事责任。在侦查阶段，犯罪嫌疑人可能会被刑事拘留。
   • 执行场所：刑事拘留是在看守所执行。看守所是羁押依法被逮捕、刑事拘留的犯罪嫌疑人的机关，与拘留所的功能和性质有所不同。

三、拘留期间的权利与义务

1. 权利：被拘留人在拘留期间享有一定的权利，如申诉权、控告权、获得法律帮助的权利等。如果认为拘留决定有误或侵犯了自己的合法权益，可以向相关部门提出申诉或控告。

2. 义务：同时，被拘留人也需要履行一定的义务，如遵守拘留所的规定、配合管理人员的工作等。如果违反规定或拒不配合管理，可能会面临更严厉的处罚。

四、特殊情况下的处理

1. 不执行拘留的情形：根据《治安管理处罚法》的规定，某些特定人群（如已满十四周岁不满十六周岁的未成年人、已满十六周岁不满十八周岁且初次违反治安管理的未成年人、七十周岁以上的老年人、怀孕或者哺乳自己不满一周岁婴儿的妇女）即使被裁决给予行政拘留处罚，也不实际执行拘留。

2. 暂缓执行拘留：如果被处罚人不服行政拘留处罚决定，可以申请行政复议或提起行政诉讼，并向公安机关提出暂缓执行行政拘留的申请。如果公安机关认为暂缓执行行政拘留不致发生社会危险，且被处罚人或其近亲属提供符合条件的担保人或交纳保证金，则行政拘留的处罚决定可以暂缓执行。

总结与建议：

肇事逃逸被决定拘留15天，通常会在公安机关的拘留所执行。在拘留期间，被拘留人应遵守相关规定，履行自己的义务，并享有相应的权利。如果认为拘留决定有误或侵犯了自己的合法权益，可以及时提出申诉或控告。同时，也建议广大驾驶员在发生交通事故后，应积极配合调查、主动承担责任，避免逃逸行为带来的严重后果。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。