结论：工作期间在楼梯摔伤的赔偿问题，需根据是否构成工伤、是否存在第三方责任等情况分情况讨论，具体如下：

1. 若构成工伤
   根据《工伤保险条例》第十四条，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应认定为工伤。楼梯摔伤若符合以下条件，可申请工伤赔偿：

   • 时间与场所：摔伤发生在工作时间、工作场所（如办公楼、车间等内部楼梯）；
     
   • 工作原因：摔伤与工作直接相关（如因搬运物品、赶时间完成工作任务等导致）；
     
   • 程序要求：用人单位需在30日内申请工伤认定，职工或其近亲属可在1年内自行申请。
     赔偿内容：包括医疗费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金（若构成伤残）等，由工伤保险基金或用人单位支付。

2. 若不构成工伤，但存在第三方责任
   若摔伤因楼梯存在安全隐患（如湿滑、破损、照明不足等）且由第三方（如物业、施工单位）未尽到管理义务导致，可依据《民法典》第一千一百六十五条主张侵权赔偿：

   • 责任主体：楼梯的管理人或所有人（如物业、房东、施工单位）；
     
   • 赔偿范围：包括医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金（若构成伤残）等，按过错比例分担责任。
     注意：需证明第三方存在过错（如未设置警示标志、未及时维修等），可通过照片、监控、证人证言等证据固定事实。

3. 若既不构成工伤，也无第三方责任
   若摔伤纯属个人疏忽（如奔跑、玩手机等）且楼梯无安全隐患，则属于意外事件，通常由职工自行承担损失。但若用人单位未提供安全的工作环境（如未安装扶手、未定期检修楼梯），可能需承担部分补偿责任，需结合具体证据判断。

行动建议：

• 立即取证：保留现场照片、医疗记录、证人联系方式等证据；
  
• 申请工伤认定：若符合工伤条件，尽快向用人单位或社保部门提交申请；
  
• 协商或诉讼：若涉及第三方责任，可先协商赔偿，协商不成可向法院起诉；
  
• 咨询专业律师：若对责任划分或赔偿标准有疑问，可直接向我咨询，我将结合具体案情提供详细方案。