结论：电梯卡丢失后物业是否应补办，需分情况讨论，主要取决于物业合同约定、物业职责范围及业主与物业的协商结果。以下从不同角度展开分析：

1. 从物业合同或管理规约的角度
   若业主与物业签订的《物业服务合同》或小区《管理规约》中明确约定“物业负责电梯卡的发放、补办及管理”，或约定“业主丢失电梯卡后，物业应提供补办服务”，则物业有义务补办。此时业主可要求物业按合同履行义务，若物业拒绝，可依据合同条款主张权利。
   法律依据：根据《民法典》第944条，业主应按约定支付物业费，物业应按约定提供服务。若合同明确约定补办义务，物业拒不履行可能构成违约。

2. 从物业职责范围的角度
   若合同未明确约定补办义务，但物业实际承担了电梯卡的管理工作（如发放、挂失、补办等），且补办行为属于物业常规服务内容（如通过系统操作即可完成），则物业通常应配合补办。此时可视为物业基于管理需要默认承担了该义务。
   例外情形：若补办需产生额外成本（如制卡费、人工费等），物业可能要求业主承担合理费用，但不得以“无合同约定”为由完全拒绝补办。

3. 从安全管理的角度
   电梯卡涉及小区安全管理（如防止外来人员随意进入），物业可能以“防止冒领”“确保安全”为由要求业主提供身份证明、填写申请表等材料。若业主配合提供材料，物业仍拒绝补办，可能涉嫌不作为。
   建议：业主可要求物业出具书面拒绝理由，若理由不成立（如无合理依据或程序违法），可向社区、房管部门投诉或通过法律途径解决。

4. 从协商解决的角度
   若合同未约定且物业拒绝补办，业主可尝试与物业协商：

   • 明确补办流程（如是否需支付成本费、办理时间等）；
     
   • 要求物业说明拒绝补办的理由；
     
   • 提出折中方案（如业主承担制卡费，物业协助补办）。
     提示：协商过程中建议保留书面记录（如微信聊天记录、邮件等），以备后续维权使用。

总结：物业是否应补办电梯卡需结合合同约定、实际管理情况及安全管理需求综合判断。若物业无合理理由拒绝，业主可通过协商、投诉或诉讼维护权益。如有具体合同条款或物业拒绝理由，可进一步向我咨询，我会结合细节为您分析。