当劳动仲裁裁决要求公司继续履行劳动合同，而公司却选择拒不执行时，作为劳动者，您完全有权依据相关法律法规来维护自己的合法权益。以下是对这一问题的详细解答及应对措施：
一、申请强制执行的法律依据
首先，您需要明确的是，根据《中华人民共和国劳动法》第八十三条和《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第五十一条的规定，如果一方当事人在法定期限内既不起诉又不履行仲裁裁决，另一方当事人是有权向人民法院申请强制执行的。这是您维护自己权益的重要法律依据。
二、申请强制执行的流程
确定执行法院： 您应向被执行人（即公司）住所地或被执行的财产所在地的基层人民法院提出强制执行申请。这通常意味着您需要向公司注册地或实际经营地的法院提交申请。
准备并提交申请材料： 您需要准备一系列材料，包括强制执行申请书、生效的劳动仲裁裁决书、您的身份证明以及公司的基本信息等。在申请书中，您需要详细写明双方的基本信息、申请执行的具体事项以及执行依据等内容，并由您本人签名或盖章。
提交申请与法院审查： 将准备好的材料提交至执行法院的立案窗口。法院将对您的材料进行审查，如果符合条件，将会予以立案受理。
三、法院的执行措施与处罚
一旦法院受理了您的强制执行申请，它将有权采取一系列措施来确保裁决的履行：
执行措施： 法院可以查询、冻结、划拨公司的存款，查封、扣押、拍卖、变卖公司的财产等，以确保您能够获得应有的权益。
对公司及相关责任人的处罚： 如果公司仍然拒不执行裁决，法院可以向公司发出执行通知书，责令其限期履行义务。如果公司仍然不履行，法院可以对公司的主要负责人或直接责任人员处以罚款、拘留等处罚。在情节严重构成犯罪的情况下，还可能触犯拒不执行判决、裁定罪，面临刑事处罚。
信用惩戒： 法院还可以将拒不执行的公司及相关责任人列入失信被执行人名单，限制其高消费、出行等行为，以进一步促使其履行义务。
四、寻求法律援助与咨询
在整个过程中，您可能会遇到各种复杂的问题和困难。因此，我建议您寻求法律援助机构的帮助，获取专业的法律咨询和代理服务。同时，您也可以咨询专业律师，了解其他可行的途径和办法，以更有效地应对公司拒不执行裁决的情况。
五、关注执行进展并积极配合
最后，您需要密切关注执行进展，并及时向法院提供公司的财产线索等信息，协助法院顺利执行裁决。如果执行过程中遇到阻碍或法院执行不力，您可以通过合法途径向上级法院反映情况，促使法院加快执行进度。
综上所述，当公司拒不执行劳动仲裁裁决要求继续履行劳动合同时，您应依法行事，积极采取申请强制执行、关注执行进展、寻求法律援助与咨询等措施来维护自己的合法权益。希望这些解答和建议能够对您有所帮助。