结论：汽车抵押后电池损坏（“饿死”通常指电池因长期未充电而损坏）的赔偿责任，需根据抵押合同约定、抵押物保管责任归属及是否存在第三方过错等因素综合判断。以下分情况说明：

1. 抵押合同有明确约定时

若抵押合同中明确约定了抵押物的保管责任（如“抵押期间，抵押人应妥善保管抵押物，因保管不善导致损坏的，由抵押人承担赔偿责任”），则电池损坏的赔偿责任按合同约定处理：

• 抵押人保管：若合同约定由抵押人（车主）保管抵押物，电池因抵押人未妥善保管（如长期未充电）导致损坏的，由抵押人承担赔偿责任。
• 抵押权人保管：若合同约定由抵押权人（如银行、贷款公司）保管抵押物，电池因抵押权人未尽保管义务（如未定期充电维护）导致损坏的，由抵押权人承担赔偿责任。

法律依据：
根据《民法典》第四百三十二条，抵押人应当妥善保管抵押财产。抵押财产价值减少的，抵押权人有权请求恢复抵押财产的价值，或者提供与减少的价值相应的担保。抵押人不恢复抵押财产的价值，也不提供担保的，抵押权人有权请求债务人提前清偿债务。

2. 抵押合同无明确约定时

若合同未约定保管责任，则需根据抵押物的实际控制情况判断：

• 抵押人实际控制车辆：若车辆仍由抵押人实际使用（如日常通勤），电池因抵押人未妥善使用（如长期停放未充电）导致损坏的，通常由抵押人自行承担责任。
• 抵押权人实际控制车辆：若车辆已交付抵押权人保管（如因贷款违约被扣押），电池因抵押权人未尽合理保管义务（如未定期启动充电）导致损坏的，由抵押权人承担赔偿责任。

法律原则：
根据《民法典》第一千一百六十五条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。若保管方未尽到与自身能力、行业惯例相符的保管义务（如对电动车电池的常规维护），需承担过错责任。

3. 存在第三方过错时

若电池损坏系因第三方原因导致（如他人故意破坏、充电设备故障等），则由第三方承担赔偿责任。此时需注意：

• 抵押人或抵押权人已尽保管义务：若保管方已按合同或行业惯例妥善保管车辆（如定期检查、合理充电），但因第三方行为导致电池损坏的，由第三方赔偿。
• 保管方未尽义务时的连带责任：若保管方存在过错（如未锁车导致他人破坏），且第三方行为与保管方过错共同导致损害的，可能需根据过错程度分担责任。

建议行动：

1. 检查抵押合同：优先查看合同中关于抵押物保管、损坏赔偿的条款，明确责任归属。
2. 固定证据：对电池损坏情况拍照、录像，保留维修记录或鉴定报告，证明损坏原因及损失金额。
3. 协商或诉讼：根据责任归属，与对方协商赔偿；协商不成的，可向法院起诉，要求责任方承担维修费用或等值赔偿。

示例：
若抵押合同约定“抵押期间车辆由抵押人保管”，但抵押人因长期出差未充电导致电池损坏，则抵押人需自行承担维修费用；若合同约定“抵押权人保管车辆”，但抵押权人将车辆停放在露天场地未充电，导致电池损坏，则抵押权人需赔偿。

如有进一步疑问或需具体分析合同条款，可直接向我咨询。