面对对方逃逸且交警迟迟未出具交通事故责任认定书的情况，你可以采取以下措施来有效推进事情进展并维护自身合法权益：

1. 了解相关法律法规，明确交警责任

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十三条，公安机关交通管理部门应当根据交通事故现场勘验、检查、调查情况和有关的检验、鉴定结论，及时制作交通事故认定书，作为处理交通事故的证据。这意味着交警部门有义务在合理时间内出具责任认定书。
   • 同时，根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第九十三条，对经过勘验、检查现场的交通事故，公安机关交通管理部门应当在勘查现场之日起10日内制作交通事故认定书。对需要进行检验、鉴定的，应当在检验、鉴定结果确定之日起5日内制作交通事故认定书。这为你提供了明确的时间框架来监督交警部门的工作。

2. 主动与交警部门沟通，了解延迟原因

   • 直接前往负责该案件的交警大队，礼貌地询问承办民警责任认定书延迟出具的具体原因。可能是事故调查复杂性、检验鉴定进度等客观因素导致的延迟。
   • 在沟通过程中，同时了解案件的最新调查进度，包括逃逸者是否已被找到，以及相关检验鉴定工作的完成情况。这有助于你判断交警部门是否在积极履行职责。

3. 依据法律规定提醒交警，必要时书面催告

   • 若交警未能在规定时间内出具责任认定书且无合理理由，你可以考虑以书面形式向交警部门发送催告函。催告函中应明确指出法律规定的出具期限，并要求尽快依法作出责任认定。
   • 催告函应通过可靠方式送达，如邮寄或直接递交，并保留好相关凭证，如邮寄回执或签收记录，以备后续使用。

4. 向上级部门反映情况，寻求协调帮助

   • 若与承办交警及所在大队沟通无果，你可以向交警大队的上级部门（如当地公安局交通管理局的法制科或督察部门）反映情况。请求他们督促交警部门尽快出具责任认定书。
   • 你也可以拨打当地的政务服务便民热线（如12345），详细说明事情经过，寻求政府相关部门的协调帮助。这通常能加快问题的解决进程。

5. 保留证据并考虑其他途径解决纠纷

   • 在此期间，务必保留好现场照片、证人证言等相关证据。这些证据在后续的责任认定及可能的法律程序中至关重要。
   • 若因责任认定书未出具而导致权益受损，在后续的法律程序中，你可以主张相应的赔偿。此外，你还可以考虑通过调解或诉讼等方式解决纠纷。调解可在双方自愿的基础上进行，而诉讼则是通过法院对纠纷进行裁决。

行动建议：

• 首先，尝试与交警部门友好沟通，了解延迟的具体原因和案件进展。
• 若沟通无果，及时发送书面催告函，并保留好相关凭证。
• 同时，考虑向上级部门或政务服务便民热线反映情况，寻求协调帮助。
• 在整个过程中，务必保留好所有相关证据，以备后续使用。

面对这种情况，保持冷静和理性至关重要。通过积极采取措施，你将能够更有效地维护自己的合法权益。如果你有任何进一步的问题或需要更多的法律建议，请随时向我咨询。