1. 核心结论：在连续签订多次劳动合同后，合同到期公司并不能随意辞退员工。若员工提出或同意续订，有权要求与公司签订无固定期限劳动合同。公司若无合法理由，仅以合同到期为由辞退员工，属于违法行为，需支付相应的经济补偿或赔偿金。

2. 详细分析：

   • 无固定期限劳动合同的订立： 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等情形的，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这意味着，在您已经连续签订多次劳动合同的情况下，您有权要求与公司签订无固定期限劳动合同，公司不能仅凭合同到期就辞退您。

   • 公司违法辞退的后果： 若公司违反规定解除或终止劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准。这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。因此，如果公司违法辞退您，您有权要求公司支付相应的赔偿金。

   • 公司可以合法解除的情形： 当然，公司也并非在任何情况下都不能辞退员工。根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，如果员工存在严重违反用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形的，公司可以合法解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但这些情形都需要有充分的证据支持，不能仅凭公司领导的个人喜好或无根据的猜测就辞退员工。

   • 合同内容与规章制度的重要性： 劳动合同是雇主和员工之间约定工作关系、工作内容、工资待遇等条款的法律文件，对双方都有约束力。如果在多份固定期限的劳动合同中或公司的相关规章制度、员工手册里，没有明确说明合同到期后公司有权无条件辞退员工，则公司不能仅因合同到期就辞退员工。

3. 法律建议：

   • 如果您已经连续签订多次劳动合同，且希望继续在公司工作，可以在合同到期前与公司沟通，表达您希望签订无固定期限劳动合同的意愿。
   • 如果公司拒绝签订无固定期限劳动合同，或仅以合同到期为由辞退您，您可以寻求法律援助或向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。
   • 在与公司沟通或申请仲裁的过程中，建议您保留好相关的证据材料，如劳动合同、工资单、工作记录等，以便在需要时提供证明。

4. 可能的法律后果：

   • 如果公司违法辞退您，您有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的数额根据您在公司的工作年限和工资水平确定。
   • 如果您选择申请仲裁或提起诉讼，且最终胜诉，公司不仅需要支付赔偿金，还可能需要承担仲裁费用或诉讼费用等额外成本。

综上所述，连续签订多次劳动合同后，合同到期公司并不能随意辞退员工。如果您遇到类似情况，建议及时与公司沟通并寻求法律援助，以维护自己的合法权益。